基于遗传算法的移动机械臂轨迹优化研究

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轨迹规划是指给定起始点 (初始状态位姿)与期望的终点(末端执行器的期望位姿)，同时根据-定的任务要求寻求-条连接起终点的次优或最优的有效路径，然后将路径转换成机械臂各个关节的空间坐标，确定机械臂在运动过程中各关节的位移、速度和加速度 ，形成轨迹。轨迹规划能够减少机械臂的磨损、节省大量的作业时间，提高系统的操作能力和工作效率，使得整个系统高效、稳定、长期的运行。文献f1研究了具有冗余 自由度的移动机械臂的轨迹跟踪问题，提出了-种将末端执行器的位置与姿态分别进行规划的方法。文献 i芏势场方向和平台的移动方向-致的条件下，利用全部状态不连续反镭制律和势朝数实现了平台的规划；文献 利用梯度函数的分层叠代算法进行函数寻优，对可移动平台的运动规划问题进行了探索。由于在在给定的起停点之间，满足条件的轨忌能有很多条 ，所以机械臂轨迹规划算法需要-些性能指标进行优化，如时间最短，系统能量消耗最孝冲击最小等 。因此，将综合考虑机械臂的运动学要求，同时考虑其质量、负载大小以及工作转速等多种因素，以时间-冲击作为优化指标优化运动轨迹，采用遗传算法对机械臂运动的最大速度、最大加速度、最大加加速度(冲击)及轨迹曲线的高阶导数等各项特性指标进行权衡与优化。

2机械臂的运动学分析三自由度平面机械臂，如图 1所示。机械臂由-个固定连杆和三个在平面内运动的活动连杆组成。

关节图 I三自由度平面机械臂Fig.1 3DOF Plane Manipulator如图 1可知连杆长度和关节角度，末端执行器E的坐标为来稿日期：2012-07-14基金项目：国家自然科学基金项目(61075087，61203331)；湖北势技计划自然科学基金重点项目(2010CDA005)作者简介：杜钊君，(1987-)，男，湖北赤壁人，硕士研究生，主要研究方向：移动机器人智能控制；吴怀字，(1961-)，男，湖北黄冈人，教授，博导，博士，主要研究方向：智能控制及应用1 34 杜钊君等：基于遗传算法的移动机械臂轨迹优化研究 第 5期，1 cosO1，J2cos(0l日2)，J cos(0 2 3) (1)I，J1 sin0I，J2sin(0l ) 3sin(01o203) (2)未端执行器的方位 用末端执行器中心线与正向轴的夹角表示：中 . (3)给定关节位移值，通过式(1)、(2)和(3)求出末端执行器的坐标与方位，是正运动学问题。通过给定的末端执行器方位，求出相应的关节位移，则为逆运动学问题。

3机械臂的轨迹规划算法3.1关节空间的轨迹规划对机械臂关节采取插值操作，需要满足约束条件，如起停点等节点处的位姿、速度、加速度要求；与之对应的在整个时间间隔内每个关节的位移、速度、加速度的连续性要求，以及它们的极值不能超过每个关节变量的容许范围等。满足约束条件后，可以选取不同类型的插值雨数生成不同的轨迹，如三次多项式函数插值 、高阶多项式插值 、抛物线过渡的线性插值等。

32三次多项式轨迹规划假设已知机械臂的初始位姿，机械臂期望末端位姿对应的关节角可以通过求解逆运动学方程得到。假设某-关节在开始时刻toO的关节角度为 ，在终止时刻 ti的关节角度为 显然，满足此条件的光滑曲线会有很多条。

三次多项式方程及-阶导函数方程可以表示为：， 1O(t)aoa1 a3t (4) 2a2t3%t。 (5)式中： a。，啦，n厂 四个待定参数，由初始和终止点的关节角度及关节速度的要求，可以求出其值，进而得到三次多项式插值的期望关节位置和期望关节速度表达式。

3.3五次多项式轨迹规划如果约束条件增多，除了指定运动轨迹的起终点的位置和速度外，同时指定起终点的加速度，边界条件就增加到了6个，相应的采用五次多项式进行插值。五次多项式的-阶导函数、二阶导函数分别作为关节速度、加速度的时问函数。

n.。 j2。 。 j52 3 4O(t)-a2a2t3%t4a4t5 f， 、 2 3(f)2 6 抖l2Ⅱ420%t(6)(7)(8)由于包含关节角加速度的约束条件，相对于三次多项式轨迹规划，五次多项式轨迹规划计算量稍微大-些，但是每个点的关节角位移、速度、加速度都是连续的，使得电机能够平稳的运行。

4移动机械臂的轨迹优化4.1轨迹优化的目标轨迹规划的目标是希望机械臂末端的运动是光滑的，即具有连续的-阶导数，因此规划的任务是根据给定的路径点规划出通过这些点的光滑的运动轨迹191。研究的轨迹优化 目标是在有障碍物的[作空间中，规划出-条无碰撞的运动时间最短并且移动的空间距离最小，同时不超过最大的关节设定扭矩的轨迹。假设机械臂的自由度数为n，连接起点和终点的中间点个数为m，为了使轨迹的位置 、速度和加速度保持连续，并且起始和终止位置的位置、速度和加速度可以任意配置，则至少采用四次多项式曲线拟合关节轨迹。设计的轨迹由四次多项式曲线与五次多项式曲线连接而成 ，四次多项式连接起点与中间点，五次多项式连接中间点与终点。连接起点与m个中间点的四次多项式可以表示为：Oi (f)： 。 q。 q： q3f q ，( o，，m-1) (9)式中：n ，n -常数； 从点 i到点 1的运行时间，其满足的约束方程为： a/olqo l q2Tiai3Ti0iai10 aiI2ai2 3ai3Ti4ai4Ti2az (10)其解为：a00i，a l0i，a20i/2ai3-(-4 4 -30iTi- 。Ti- )/a/4(30i-3 .2 TiOi，T0i12)/ (11)点 1的加速度表示为：Oi 2ai26 3 1244 (12)连接第 m个中间点与终点的五次多项式可以表示为：Oi ( )b 6 ， 十6 6 6 6 ，( ) (13)式中：b -，6 常数，其满足的约束方程为：：6mO.tb 6 十6。

0Ⅲ： l2b 2T3b日 4b 4Ti5b 5Ti2b0Ⅲ2b 26b 3T12b 20b 5 (14)其解为：6 0 b 0i，bi2仃 /26 ：(-20 200uI-(120i80i。)Vi-(3 - .) )/2 bi4(30o-306l (16 140 ) 3 -20 ) )/26 ：(-12 1 -(60i60 ) -(百 ～ ) )/2r； (15)在这里，令 n3，ml。由式(11)、(15)可知，-共有 9个待求的未知参数。若轨迹曲线采用两段五次多项式曲线组成，则待求未知参数的个数将增加，计算量将增大，故采用四次多项式与五次多项式的组合轨迹曲线。为了使机械臂运动的时间最短，移动的空间距离最小 ，同时不超过最大的关节设定扭矩，对其轨鉴行优化。如图 2所示，已知起点与终点的位置、速度、加速度向量分别为( ， 。， 。1，[Oi， ，， ，1，总的运行时间ttt。，选择时间优化目标为[t ，t ]，使得tmin(t.：)，选择使机械臂移动的空间距离最小的优化目标为[ .，Om ，Om ， ， .， ：， ]，则轨迹优化需要选取的优化目标为[ 。，Om ， ，， ， .， 被， ，'f1， ]。

为 [卢。，卢 ， ，f14E2，2，2，1 1 o三个关节的最大力矩分别为 r ：蠢6 6 45N·m，r 20Nnl'T3 5N·m，初始和终止时刻的速度、加速度均为0，优化目标[0。， ， ， ， ， ：， ， ， ]约束范围为：-图 2轨迹不意图Fig.2 Diagram of the Trajectory4.2基于遗传算法的优化求解遗传算法的实现主要包括：参数编码，设定初始种群，设计适应度函数，遗传操作，设定算法控制参数和处理约束条件 。

编码：遗传算法的编码是解的遗传表示，即将问题的解编码为遗传算法所需的染色体 ，选取的编码方式为实数编码 ，即每个被优化的变量以浮点数的形式表示。

初始种群：在解的取值范围内，随机产生-定数量的个体。

选取群体大小为200，即群体由200个个体组成，每个个体通过随机初始化产生。

适应度函数(fitnessfunction)：遗传操作的依据 ，作为评价群体中每个个体优劣的标准 ，选取的适应度函数为： (16)式中 -关节力矩的罚函数 -每个关节运行的总距离 -空间的轨迹长度； z。村f-总的运行时间；屈 (i1，2，3，4)-权系数。

b ∑∑jl /1f0 < max ， (17) I l- t Ti式中：r厂-械臂的自由度；6-起点与终点之间节点的数 目；r -关节的最大扭矩。

a b ∑∑ -q .I (18)/1 i26 ∑d( ， - ) (19)J2式中：d( ， 。)-节点 与 之间的距离。

选择：依据个体适应度值的大小，对每个个体采用优胜劣汰的操作，从而产生新的群体。

交叉：决定了遗传算法的全局搜索能力，按照某种方式对两个相互配对的染色体相互交换其部分基因，从而形成两个新的个体。

变异：是遗传算法产生新个体的辅助方法，决定了遗传算法的局部搜索能力，以较小的概率对个体编码串上的某个或某些位值进行改变，形成新的个体。

终止进化代数：遗传终止的条件，根据问题的复杂程度，-般取为(100-500)。

5实验及结果分析5.1时间最优轨迹规划设定机械臂连杆长度分别为 1， ：l， 30.5，权系数分别啊 S1Tr d，-可 1T rod，-盯/4≤

机械臂轨迹规划实验结果 ，如图3所示。设置机械臂起始点位姿为，终点坐标为(-2，0.5)。机械臂末端执行器的轨迹曲线，如图3(a)所示；运动时间 t，，关节运动距离厶 轨迹长度。

随遗传代数变化曲线 ，如图 3(b)-图 3(d)所示；关节角度、速度、加速度及关节力矩随时间变化曲线，如图 3(e)-图3(h)所示≌心圆圈表示优化的中间节点。 。

实验结果得到，轨迹优化的目标l ·， z， ， ，Om·，f分 I2， ，tl，t2 J别为 ：0.9671，1.3060，-0.0883，3.1414，0.7820，0.0520。0.0022，1.1629，1.7002。轨迹长度 3.2015，总的关节运动距离fq1.9063，总的超调力矩L-o，总的运行时间tr2.8631。

(a)机械臂末端执行器的轨迹曲线 (b)运动时间随遗传代数变化曲线遗传代数 遗传代数(c)关节运动距离遗传代数变化曲线 (d)轨迹长度随遗传代数蛮化曲线时 (s) 时间(s)(e)关节角度随时间变化曲线 (f)关节速度随时间变曲线时间(s) 时问(s)(g)关节加速度随时间变化曲线 (h)并节力矩随时间变化曲线图3移动机械臂的轨迹规划实验结果 eFig.3 The Experiment Result of Manipulators Trajectory Planning由图3(a)可知，考虑到起始点坐标(0.5，2)，终点坐标(2，0.5)，则连接起点与终点的所有轨迹中两点之间的直线段轨迹最短，其轨迹长度为 /2.9155，而优化后得到的轨迹长度 ：3.2015，这是因为综合考虑优化轨迹长度、总的关节运动距离、总的运行时间136 机械 设计 与 制造No.5May.2013等的结果。

52时间-冲击最优轨迹规划机械臂各关节的速度、加速度、冲击的约束，如表 1所示。各关节轨迹上的节点，如表 2所示。选择变异概率Pm0.16，交叉概率 0.8，进化代数为 100。

表 1机械臂运动学约束Tab.1 The Kinematic Constraint of Manipulator表2各关节轨迹上的节点Tab.2 The Nodes of Each Trajectory实验- ：执行时间与冲击的权重分别为krl，kjl，经过优化后的最经过优化后的时间-冲击最优轨迹规划的位移、速度、加速度和冲击曲线(图略)。实验二：执行时间与冲击的权重分别为kv1，krO，经过优化后的时间-冲击最优轨迹规划的位移、速度 、加速度和冲击曲线(图略)。实验三：执行时间与冲击的权重分别为kvl J1经过优化后的经过优化后的时间-冲击最优轨迹规划的位移、速度、加速度和冲击曲线(图略)。

表 3不同权重对应的最优时间序列Tab.3 The Optimal Time Series with Diferent W eighs表 4不同权重对应的关节冲击值Tab.4 The Jecks of Each Joint with Diferent Weighs已知，执行时间的权重 kvO时对应最小冲击的轨迹，冲击的权重 严0时对应最优时间的轨迹。因此，实验-，krl 产1所规划的轨迹综合考虑时间与冲击的最优，且两者的权重相同；实验二，krl，kF0所规划的轨迹是时间最优的；实验l-，kr0， F1所规划的轨迹是冲击最优的。不同权重值对应的时间间隔序列与关节冲击值，如表 3、表4所示。由表 3、表 4可知，实验二得到轨迹的运行时间最短，冲击最大，实验三得到轨迹的运行时间最长，冲击最小，而实验-得到的轨迹运行时间及冲击介于二者之间。

， ，- 、0 兰古主要研究内容是采用遗传算法对机械臂的轨鉴行优化 ，首先分别建立了移动机械臂的运动学与动力学方程，并分析了移动机械臂的轨迹规划的基本方法，包括三次多项式轨迹规划与五次多项式轨迹规划，并给出了实验验证。然后介绍了遗传算法的基本内容，接着，综合考虑使机械臂运动的时间最短，移动的空间距离最小，轨迹长度最短 ，同时不超过最大的关节设定扭矩等条件，对轨鉴行了优化设计 ，并分析了遗传算法求解的过程。最后，通过实验对采用方法进行了验证。实验结果表明满足了相应的约束条件，同时使得轨迹的位置、速度和加速度曲线光滑连续；同时，以时间-冲击最优作为优化指标，采用二-次样条曲线拟合关节轨迹，仿真结果表明所规划轨迹的关节位移、速度、加速度曲线是连续的，冲击曲线是有界的，提高了跟踪精度，达到更高的运行速度，降低了机械的磨损并提供了理想的运动轨迹。