超精密加工中表面波纹度与主轴系统不平衡关系

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Relationship between Waviness in Ultra-precision M achining andSpindle UnbalanceCHEN Dongju FAN Jinwei LI Haiyong zHANG Feihu(1.Colege of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University ofTechnology，Beijing 100124；2.School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 1 5000 1)Abstract：For the problem of the workpiece waviness，the relationship between the spindle unbalance and waviness phenomenon isresearched.The measured result of the workpiece is decomposed and restructured by the wavelet tran sfornl，then，the power spectraldensity is used to an alyze the spectrum energy of the signal in each scale decomposed by wavelet transform，and the correspondingfrequency is obtained.The modal inform ation of the spindle system is calculated by two methods.The main erors features isextracted with the frequency inform ation of the spindle system，it includes the natural frequency an d rotating frequency of the spindle，an d the spectrum of the alternating current interference of the motor，the basic power frequency is 50 Hz an d its multiple integers，sometimes also includes sub-harmonic sign a1.Th e extracted features from the workpiece is agree with the unbalan ce frequency of thespindle system and the alternating current interference of the motor，this explains the spindle un balan ce is the main reason for thewaviness，and provide a identifcation basis for the improvement of the machining accuracy。

Key words：Ultra-precision turning Waviness Spindle unbalance Wavelet transform Power spectral density0 前言主轴是机床的核心部件，它直接影响机床精度，并且由于不平衡引起的振动会直接影响加工工件的面形精度，产生波纹度误差，主轴动态特性是影响切削加工过程及加工质量的关键因素[1o所以机床主轴系统在加工过程中的动态特性不能忽视，·国家 自然 科学 基金 (51105005)和教 育部 博士 点新 教师 基金(20111103120002)资助项目。20120419收到初稿，20121009收到修改稿找出机床加工工件波纹度产生的原因对机床加工精度的提高至关重要。车削加工中主轴系统的动态性能影响加工工件波纹度的生成。不平衡振动引起的误差是随时间变化的，所以在时间域很难辨识出来，所以这种误差只有从频率域根据频率特征来辨识。

在以往的研究中，很多学者用不同的方法对旋转部件的不平衡振动进行了研究。在这些研究中，比较典型的有：建立旋转部件动态模型来仿真不平衡响应口4]、快速傅里叶变换 ]、小波应用[78、功率谱密度分析9 oJ和相关性分析方法。具体地说，机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期通过动态模型来分析不平衡响应的方法，不能从加工波纹度误差中辨识出主轴不平衡的相关特征。传统的快速傅里叶变换方法给出合理的频率配置，但由于分辨率较低使得处理结果不是太理想。小波变换和功率谱密度分析主要用于信号处理中，对于在主轴不平衡分析中的应用还没有发现。相关性分析方法只是辨识出不平衡引起的振动幅值和相位，没有相应的频率成分，这种方法就需要相应的辨识设备可以直接进行振动信号检测。对于本文所研究的主轴系统，它包含液体静压止推和径向轴承，主轴为电主轴，里面的振动信号不能直接进行检测，所以利用文献[11]中的方法不合适，所以这里对加工工件波纹度典型特征进行提龋比较了以上方法可以发现本文所用特征提取方法来对引起波纹度的主轴不平衡现象进行辨识是有效的。

本文将根据主轴动态特性分析得到的频率信息进行主轴不平衡特征提取，基于小波变换和功率谱密度分析，典型的频率特征被提取出来，解决了加工中存在波纹度信号很难提劝辨识的问题。

1 主轴系统动态特性分析主轴安装在立式超精密机床上，轴承为液体静压轴承，有径向和止推轴承两种，如图 1所示。整个主轴系统有偏心存在时，偏心质量不平衡引起的偏心力会迫使主轴做受迫振动，这种振动对加工工件质量产生影响。为了分析主轴不平衡振动对加工工件波纹度的影响关系，首先利用传递矩阵法和有限元两种方法对主轴系统动态性能进行分析。

图 1 主轴结构图1.1 传递矩阵法的主轴动态特性分析这种方法是把主轴系统的状态参数用矩阵来表示，通过求解得出主轴各阶频率及阵型。主要思想是简化主轴部件的实际结构成理想的集中参数模型。根据主轴直径的变化和轴上部件的不同进行分段，并按重心不变原则把分段后以集中质量表示的各段轴进行分配。简化的每段轴的质量单元以无质量的弹性梁连接在-起。这里弹性梁的抗弯刚度值与实际值-致。利用等效弹簧和阻尼器来表示液体静压轴承的弹性和阻尼。根据以上简化思想，液压主轴系统被简化为支撑在各组弹簧和阻尼器上的具有-系列集中质量和无质量弹性梁组成的动力学模型。

1.1.1 主轴简化后无质量梁段的传递矩阵这些无质量梁右端具有集中质量，图2所示的力学模型为第f段无质量梁li，它右端连接第f个集中质量 m 。

图2 无质量梁段简化力学模型图2中，mf-1表示第 1个集中质量；mfl表示第 i1个集中质量；印1.R为 f1个集中质量右端所有剪切力， .R为 f个集中质量右端所受剪切力，ri，L为 f个集中质量左端所受剪切力，鼬 表示第 f段梁抗弯刚度；尬 L为 f个集中质量左端力矩， l，R为f1个集中质量右端力矩；∞为转动角频率；Yl-L为i个集中质量左端位移。

设图2中梁截面的状态矢量ZF(M y f式中 - 力矩f--剪切力y---线位移旋转角度则其右端第 fl面的状态矢量 l与 zI之间的关系为l Zi (1)1 卫 上 2Elli O丘ff0 l 土 卫 1f 2也 Ii0 0 1mi(.o2咖 ·十筹式中 --第 i个集中质量 R 心聊 甲(二)2013年 1月 陈东菊等：超精密加工中表面波纹度与主轴系统不平衡关系，厂- 第f段梁长度日 - 第f段梁抗弯刚度1.1.2 液压轴承的传递矩阵超精密机床主轴的支承元件主要为液体静压轴承，分别用 与 1来表示轴承支承两端的状态矢量，存在以下关系l乃1 0 0 0O 1 0 O0 0 l 0m jo)。- j%o-kj 0 0 1式中 广 第 段轴承质量厂 第 段轴承的等价阻尼系数第 段轴承的等价刚度图3描述了液压轴承的力学模型。

右(b)集中质量状态图3 液压轴承力学模型(3)(4)1.1-3 主轴系统的动态模型根据上面描述的各部件简化思想及其简化模型，本文的超精密立式车床主轴系统各部件简化为图4所示结构，由于主轴是回转部件，属于对称结构，计算过程中各参数取其-半结构，最后主轴划分为5个集中质量单元和5个连接集中质量的无质量弹性梁元件，2个轴承部件。

xl oOL-图4 主轴系统动态简化模型1.力矩电动机 2，3.径向轴承 4.推力轴承 5.工作台图 4中数字 1～5标注的黑点表示集中质量单元，与其相连的直线段01，12，23，34，45为无质量的弹性梁元件，下面弹簧和阻尼为简化的主轴轴承元件。

根据传递矩阵原则建立从点0到点5状态矢量之间的传递方程为 z4： 瓦z4 7 I (5)式中， (卢0～5)为第 个元件对应状态矢量。

主轴的左端0-l端代表无质量的弹性梁处于自由状态，另-端 5代表与工作台相连接的轴的集中质量，处于简支状态，有 YoMo0，M6Q60，用相应的方程组来描述系统的数学模型为Y5U12OoU14ao200g2，ao (6)0 U32OoU34Qo 、0U4200 ao如果主轴系统存在振动时，其相应振动位移的转角不会全为零，所以式(6)后两个方程系数组成的行列式必然为0，有A(oJ)： I0 (7) lU42 U44l由于系数 U32、U34、U42、U44等都是 02的函数，所以上述方程求解结果就是该主轴系统的固有频率。根据主轴结构参数：主轴外直径 240舢[1，内直径 200m/n，长 503 rnm，主轴材料 38GrMoA1A，求解上述公式得到频率厂的值如表 1所示。

表 1 主轴系统前5阶固有频率振动模态 1 2 3 4 5频率yTHz 33.187 60.780 100.080 123.010 178.7801.2 液压主轴模态分析所谓的模态分析方法是根据机械系统的模态参数对其振动行为进行分析、预测、评价和优化l。

对于主轴系统的振动分析，常用的方法就是有限元法。在 ANSYS软件中导入建立的三维主轴几何模型，在软件中输入弹性模量、泊松比、密度等主轴相应结构参数，用固体单元来表示主轴几何模型，弹簧单元来描述液压主轴和轴承问的油膜。表2所示为加入边界条件后进行的模态分析结果。

表2 主轴系统前5阶固有频率(加入边界条件)堡查堕墼 !频率/I-Iz 33.734 66.086 99.456 124.520 173.290图5所示为主轴第-阶模态振型，得到固有频率33.734 rad/s。从图5中可以看出，模态振型为主轴横向的弯曲。

2013年 1月 陈东菊等：超精密加工中表面波纹度与主轴系统不平衡关系 l95幅值f ：l KxAcos(cost- )-CxCOsBsin(co/- )l ： zCfiI K.Bsin(cod- ) oBcos(oJst- )(11)在加工过程中主要考虑在 和z向的不平衡力JmhoImcho：( )。

f， 乒 ]-( )(争 H等：2 最优 Daubechies小波选择(12)Daubechies小波是由比利时著名的小波分析学者 DAUBECHIES[ 构造的，简写成 dbN，N代表小波的阶数。Daubechies小波系列的优点为支集紧、正交、又具有-定的光滑性引，在实际工程问题中的解决中广泛应用。

与其他小波类似，Daubechies小波的尺度函数)和小波函数 )必须满足以下二维尺度关系Ⅳ( ∑hiqJ(2x-1)i0. (13)( )∑g，(2x-i)f1-N式中 厂 低通滤波系数Ⅳ--偶整数，N2n-1，z--任意整数与hi对应的是小波函数 )的高通滤波系数 ，两者之间关系为g (-1) - (14)对于任意函数jlx)在尺度空间 的逼近部分可以用式(15)来计算fJ( )∑c ( - ) (15)式中 广--任意分解尺度ci，J厂- 逼近部分尺度展开系数如果在小波空间 ，则函数 )的细节部分由式(16)计算f ( ) ， -k) (16) - 式中， . 为细节部分小波展开系数。

在空间组合 0 中将 ∈ (R)展开，有厂(x)∑∑dj，k ， ( )∑ ， ， ( )(17)，- k-- --式(17)为正交离散小波变换的综合方程式。

结合Malat快速算法l引，CO可以看作为 尺度，k 0对应系数，这样尺度系数和小波系数就可以展开为Cj1l hm，(18)册 dy1' g- 2 ， (19)根据式(1 8)、(19)进行循环计算，可以得到各尺度上的相关系数，这里，设0尺度上尺度系数和小波系数都为0，而其他尺度都不为 0，则 0尺度上的信号就可以根据式(21)进行重构，分解信号在设定的尺度上可以表示为逼近部分和细节部分的组成Cj-1，∑hm-2 Cj， ∑gm-2kd ， (20)七 七不同紧支集的小波滤波后可以得到式(18)～(20)9描述的滤波系数 h ， l引 。

根据式(18)可以得到，对于初始信号 ((k-i，2，，旧 ，被 Daubechies小波分解后根据Malat快速算法进行重构后变为.，(后) )∑Xd (庀) (20 1则相应的Daubechies分解误差盟 . 。

l (七)- (尼)f (22)kl取不同紧支集小波 会得到不同的滤波系数h ， ，以及不同的分解误差 。利用式(17)对工件波纹度误差检测结果 x(O进行 Daubechies小波分解得到相应的尺度、小波系数和分解误差。由式(22)计算得到的不同小波的分解误差如表 3所示，它描述了不同尺度上的分解情况∩以看出分解误差相对最小的是紧支集为[O，1]的 Daubechies1小波，在尺度 1上的分解误差为 0.000 003。在各个尺度上的分解误 差相 对最 大 的是紧 支集 为 [9，10]的Daubechies10小波，在尺度5上的分解误差为2.1；紧支集为[-4，5的Daubechies5小波在各个尺度上的分解误差仅次于Daubechies10小波。表3中各个尺度的分解误差进行对比得到，每种类型小波的基本分解趋势是随着尺度增大，所得到的分解误差也变大，比如从尺度2到尺度4上的分解误差，及尺度机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期7到尺度 9的分解误差。

对于加工工件面形检测结果的处理，-个关键的环节是小波分解和信号关键信息特征提取，小波类型的选择至关重要，它关系到每个尺度滤波是否合理，根据表 3的比较可以得出，Daubechies1小波是最适合的。

表3 不同尺度下不同Daubechies小波的分解误差3 加工工件波纹度处理3.1 工件面形检测用前面所研究的两轴立式大型超精密数控车床加工-材料为 2A16的平面工件，在高精度要求下，主轴旋转速度设定为 110 r/min，加工中背吃刀量为 15 um，进给速度为2 mm/min。面形误差采用英国TaylorHobson公司生产的PGI1240表面轮廓仪进行检测，结果如图8所示。

兰i 恒H图8 加工工件面形检测结果机床各个部件的误差，都包含在上面工件的面形误差检测结果中，在加工过程中，机床部件误差相互耦合，很难直接从加工结果中辨识出主要误差源。对于面形误差的每-种误差，都与机床部件误差源对应，但怎么才能找出其对应特征，则需要合适的信号处理方法对工件面形误差进行分解处理，把单-误差特征从耦合结果中提出出来，从而辨识出主要误差源。对于现在存在的加工波纹度问题，寻找出合适方法提取主要误差特征来辨识主要误差源，是提高加工工件表面精度的关键。下面就利用小波变换及功率谱密度方法对机床相关误差进行辨识。

3.2 工件面形结果的功率谱密度分析在加工过程中主轴不平衡振动引起的误差是随时间变化的，这种误差信号在时域内直接进行辨识有很大难度，但其误差频谱特征在频域内表示就非常清楚，这里根据其频域内特征对主轴不平衡误差进行辨识。图9显示了Daubechies 1小波分解的各层次检测信号的谱功率信息，工件面形信号相应频率由横坐标描述，各个层次上信号相应的功率谱密度则由纵坐标表示。Daubechie1小波分解的高频信号信息由图9a表示，高频信号处于 ～ 0尺度上，其中字母d表示高频的含义，相应的层次用d后面数字代表，比如第 5层为以。图9中 到厂7用来表示出现的高功率谱密度对应频率，各个层次频率值为 1.85 Hz. 5.5 Hz，J16.4 Hz，fi25.0Hz， 38.4 Hz， 33.3 Hz，：343.9 Hz。d1层次信号的功率谱密度信息由图9b表示，同理，出现的相对高功率谱对应频率： 尺度为 A5o.0Hz，J75.0 Hz。

4 主轴系统不平衡信号特征提取4.1 主轴不平衡频谱特征分析在超精密加工中，主轴不平衡是影响机床加工精度的主要因素之-。主轴在加工过程中产生的周期性离心惯性力或力偶会使主轴产生强迫振动而影响加工质量。主轴不平衡时主要的频谱特征为频谱中存在与主轴转速同频的频谱信号。

所研究的超精密车床加工时，设定的主轴系统实际转速为 110 r/min，可以计算出相应基频f，- HZ1.83 Hz (23)主轴系统对应的频率如表1和表2所示。根据表可以得到，主轴-阶模态频率即固有频率为33 Hz，2013年 1月 陈东菊等：超精密加工中表面波纹度与主轴系统不平衡关系E梅塞2×越稍j垫m r 吨 [. -[ . .- ：c40厂 ，魂： - .- . -200 r， 9m： ：-.。- -.。- ，：. . ， 。 。

[ . . ： ..- -0.4广 /o 已---·---·--工，-.- -- --·- 。 [. - .1m [ . o. 6 ，频率 f/Hz(b)l～5尺度信号图9 功率谱密度分析主轴旋转频率为1.83 Hz，这样主轴旋转频率的二倍和高倍频可以计算得出，如表 4所示。

表 4 主轴系统相关频率根据上面的分析，如果要确定加工面形信号中是否包含主轴不平衡频谱成分，也即是否包含与主轴固有频率和旋转频率有关的频率成分，首先必须要了解加工结果中的频率成分都有哪些。对小波分解的信号进行功率谱密度分析，结合主轴系统的频谱结果，则影响加工结果的主要误差进-步可以辨识出。 第 l0尺度信号(图9a中的最底层)的高幅值对应频率值为jS1.85 Hz，这个尺度的幅值也即功率谱密度值最大，起主要影响作用， 与主轴旋转频率。

1.83 Hz基于-致，这说明第 10层次信号里面主要为主轴不平衡信号特征，其他几个尺度的高幅值频率为 5.5 Hz，j516.4 Hz， 38.4 Hz，J33-3 Hz，j543.9 Hz，它们则分别与主轴旋转频率。

1.83 Hz的高倍频对应，其中/33-3 Hz还与主轴-阶固有频率33 Hz(表4中1对应，这些说明加工工件面形检测结果中包含的主要频率成分由主轴不平衡引起，也说明了主轴不平衡是主要误差成因。

4.2 电动机不平衡频谱特征分析电动机驱动主轴转子过程中，其电源信号中存在瞬态调制波的干扰。偏心谐波会存在于不平衡电动机转子中。偏心谐波指的是在电动机电源频率成分的两端有两条边带。它是由于转子不平衡引起电动机空气气隙磁导波的变化而产生的，其谐波频率计算[14]厂 ，)，1- 、]。。 I l I： ± (24) L -J式中 --电动机电源频率- - 电动机转差率- - 主轴电动机的级数- - 电动机旋转频率如果电动机不平衡严重时，引起振动信号中的偏心谐波会变得明显，而当存在较小偏心时，振动信号中只有很小部分的偏心谐波成分。电动机电源频率为 50 Hz，加工中设定的电动机转速为 110fmin，这样可以计算得出即电动机转子的旋转频率为。

1.84 Hz，电动机的两个偏心谐波的频率. 。c和 c由式(24)计算分别为48.16 Hz和51.84 Hz。

用电引入的工频噪声干扰的频率成分有基频50 Hz及其整数倍例如 100 Hz、200 Hz等，有时也包括次谐波(整数分之-倍频率是次谐波)，如 0.5倍为半倍频 25 Hz。图9a中显示的高功率谱密度对应的频率成分，fi25 Hz，图9b第 5尺度信号高幅值频率/5o Hz，届75 Hz，这些频率成分分别为电源基频50 Hz的 1倍频和 1.5倍频，这三个频率即为工频噪声干扰的次谐波和谐波分量，对应的信号为检测信号在小波分解后的 和 层信号。

5 结论(1)针对加工结果中存在机床振动引起的波纹度问题，研究了主轴不平衡振动特征，用两种方法198 机 械 工 程 学 报 第49卷第 1期分析了主轴系统动态特性，获取了相关频率信息特征。

f2)以超精密机床的加工工件面形检测结果为基础，以小波变换为手段对检测信号进行处理，在处理过程中提出了最优小波类型选择的依据，从而为机床误差的辨识提供依据。

(3 利用功率谱密度从频域对工件表面形貌进行分析，提取出了主轴系统不平衡、工频噪声干扰的频域特征，解决了在超精密机床整个检测信号中低频信号很难提取的难题，为超精密机床误差源的分析与辨识提供了-种有效辨识误差途径。