滚珠丝杠系统的动态特性

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机床滚珠丝杠进给驱动系统中，伺服电机产生的旋转运动通过电机轴、滚珠丝杆和丝杆螺母副，转化为立柱(工作台)的平移运动。-直以来，滚珠丝杠驱动系统的动态特性研究都是国内外机床动态特性研究的重点。研究大致可分为：a.通过不同的建模方法(集中参数模型、有限元模型和混合模型等)构建滚珠丝杠驱动系统的动力学模型，实现不同简化假设与边界条件下系统动态响应与振动特征的影响性研究与优化；b.通过不同的缩聚简化描述方法，实现与伺服控制模型的集成，得到机床驱动系统的综合动态特性[1 ]。从实验角度出发，基于动态实验与振动数据提取，运用不同的数据处理与分析手段，揭示系统动力学性能与内在动态特征属性[7 ]，为滚珠丝杠系统动态特性研究与优化提供基础，不足之处在于未 理论验证 和说明该动态特征 。文献[7]通过建立丝杠-工作台系统的轴向动力学模型，推导并实验验证了系统轴向振动混沌特征。文献[1O]在考虑非线性弹性力情况下对滚珠丝杠动态特征进行研究，但文中基于滚珠丝杠为铁木辛克梁的前提条件下，认为丝杠变形前、后横截面与轴线始终保持垂直，且截面弯曲转角和横向振动存在正切关系，直接构建物理方程进行分析，这与铁木辛柯梁的基本假设不符。研究中通倡滚珠丝杠做欧拉-伯努利梁或铁木辛柯梁假设。前者认为梁截面内的横向剪切应变为0，变形前、后截平面均保持平面且垂直于中性轴，模型简单适用于-般的工程计算；后者仍然采用平截面假设，但由于同时考虑了梁的剪切效应，使得其横截面与中心轴不再垂直，针对不同梁引入剪切修正系数得到横向剪切量。

针对滚珠丝杠的特点，其长宽比相对较小，笔者将其简化成铁木辛柯梁〖虑其截面效应和剪切效应，从能量变分原理出发，构建丝杠-工作台系统的动力学模型进行研究，避免了横截面剪切与弯曲综合影响下直接构建物理方程的困难。

1 丝杠-工作台系统动力学建模滚珠丝杠示意图如图 1所示。为计算简单，将丝杠置于二维 X-Z平面内，只研究丝杠在 平面内的振动，沿 平面内的横向振动与弯曲可通过类推得到，取丝杠左端为坐标原点，分别定义丝杠在沿 z向轴向振动为， 向横向振动为叫，绕 X的扭转振动为0，.Z'-Z的弯曲振动为 ，假设滚珠丝杠转动的过程中，定义工作台运动为 ，则丝杠轴的空间运动可用向量口-[ ， ，0， ]表示。

依据铁木辛柯梁相关理论可知，由于剪切效应的影响，与梁中心线相切的的线段同时发生角度偏转 ，因此弯曲变形与剪切变形作用下 向总变形量 叫 为 高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项课题资助项 目(2011ZX04016-021)收稿 日期：2012-07-29；修改稿收到日期 ：2012-10-26第 4期 杨 勇，等：滚珠丝杠系统的动态特性- (1)其中： 为弯曲变形引起的 向变形量； 为剪切变形引起的 向变形量。

微兀燹彤前 曲变 形 雩 曲和 舅切燹 形图 1 滚珠丝杠示意图对式(1)求导可得丝杠轴截面的总转角 )，为y- - (2) - 十 z其中： 为中心线的总斜率，且卢--考 ， -- 塾Ox 。

由于丝杠沿 z向的横向振动使丝杠轴线变为z- 平面内的-条弧线，如图 1所示，因此丝杠轴的横向振动引起的在 X向的位移z 表示为该弧长投影与变形前长度之差rX - I cos[r(x)]dZ-z-J 0(，( √ ( ) dxCOS -z(3) J。 )z) -剪切效应与弯曲效应同时作用下的丝杠轴 X向位移 为--u(x)- (筹)s(y(z)√ ( ) d -z(4)其中：- (筹)为剪切及弯曲效应共同作用下横截面转动所引起的位移变化。

丝杠轴 X向应变 为- - (等)cos 厢 -根据 式 (5)得 到 丝杠 横截 面受 到的弯 矩为M-肛c。s( )z z-E1 s( )等(6)其中：E为材料的弹性模量；J。为丝杠轴横截面绕Y轴的惯性矩。

将√1( ) 和c。s( )同时取三次截断误差，可得√ ( )。- 号( )。。( )。)c7，c。s( ) -1[O w 。( )。) (8)根据式(5)，(7)，(8)得到丝杠-工作台系统的轴向势能为- jI 丢 曲- 1 E-f A( )。

(等) 去A( ) - 1 A (筹) ]如(9)其中：A为丝杠轴的横截面积。

同理可得丝杠轴的剪切势能 U-扭转势能 U和弯曲势能U。分别为- GA ( - ) d- GI ( )。

- 甏 口(磐)。×1- 1(a w。) 出 (1o)其中： 为剪切修正系数；G为材料的切边模量；L为丝杠横截面绕X轴的惯性矩。

滚珠丝杠应变总势能- U U U U。 (11)根据达朗贝尔原理，将滚珠丝杠轴向运动过程(5) 中的惯性力转化成体力，可得轴向载荷势能V 为 ㈤c。scycz /砑 dz-z])d c 2筒 凳横向振动引起韵轴向位移变化 2坷 V -. l0 (z) 以简化为 JL 。 z J振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷同理，得到横 向振动载 荷势能 、，-扭转载荷势能V 和弯曲载荷势能V 分别为- J PA训 如： 雾 ，- dz假设工作台位于 -X 处，由工作台运动引起的载荷势能 V 为V m o2Ux 攀 L](15)其中：工作台质量为 。

滚珠丝杠系统载荷总势能 V 为- V V 。 V (16)丝杠-工作台系统的瞬时总势能 U为U -U V (17)根据最小势能原理进行瞬时变分，得到fa己厂-n l -0 ( 8)l菹 -0通过式(18)可以得到关于丝杠-工作台系统的动力学偏微分方程组。由于丝杠-工作台系统边界条件的复杂性，该偏微分方程组求解困难甚至不可能得到其解析解。假设丝杠变形为小变形，则丝杠内部的非线性影响具有非相关性，其弹性变形可以通过结构模态综合法得到[1 ]〖虑到时空离散求解的复杂性及使用局限性，采用空间离散模态综合法，在时刻 t时丝杠的变形向量D可以表示为N。∑a ( ) (z)f- 173。∑b (z) 1N。∑c (z)N。∑d ( ) (z)i- 1(19)其中：‰，叫o，0o， o为初始位置；a ( )，b ( )，c ，d ( )为互不相关的时间函数； (z)，叫 (z)， (z)，(z)为满足位移边界条件的基函数。

根据丝杠-工作台运动特点，令 o-叫。 o-0o zO， z)- z)- sin ， z)- sin ，(z)-c。s-。兀T-z，取 -1，代入式(18)，(19)，得到滚珠丝杠的轴向、横向、扭转和弯曲振动方程分别为( nz(务 ))n a- -o(2O)[ [Sin( )孚cos( )] ] 6- 6。

抖 d-o(21) c -0 (22)- 警 (23)令式(7)取二次截断误差，式(1o)中的cosf 1 、Z/取二次截断误差，将式(22)的最后-项移到方程右边 ，得到[ 十m ( )Tl l c。s( ) 2l l - 15l 16l 2 l 。 。 0 Iu。 。 V (24)分析式(2O)～(24)可以看出：丝杠的横向振动方程中具有高次非线性项，使得其振动呈现为非线性运动特征；丝杠各向振动之间存在着相互耦合因素，如丝杠的轴向振动受到横向振动的影响，丝杠的横 向振 动与 弯 曲振动 的相互耦 合影 响 今， 15 2GAxl30 日。-14EAa。Z- 丽 15f ( PA 2mfsin(专 ) 里c0s(专 )1)(25)式(24)最终可以化简为无阻尼受迫振动达芬方程的标准形式[7 3]( ) ：6( ) 5 。( )-F (26)可以看出，丝杠的横向振动表现为受迫达芬方程的混沌运动形式，其-次项系数中包含时变系数a(定常载荷作用下，忽略横向运动对轴向运动的影响，可近似认为是常数)。受迫激励来自弯曲振动的∽ ∽ ∽-、， ，第 4期 杨 勇，等：滚珠丝杠系统的动态特性耦合影响，产生的原因是由于铁木辛柯梁假设下梁的剪切变形所引起的。根据混沌的相关理论[13可知，由截面效应与剪切效应共同作用而引起的受迫激励及达芬方程系数参量值的变化将会使丝杠混沌运动性质不同于以往滚珠丝杠系统非线性振动方程口叩描述的运动特性。假设函数 d为时间的简谐函数，则 F( )可记作 Focos(cot)，F。为振动幅值，取 -叫。1，0.05，F。7，得到 d'-d相平面轨迹图，如图 2所示∩以看出，其混沌运动的相轨迹曲线没有发散，而是被局限在-个有限区域内运动且曲线不封闭，即为非周期运动。

图 2 d'-d相平面上的轨迹2 滚珠 丝杠动态特性 实验的主分量分析吴沁等[1叩通过工作台振动的加速度信号频谱分析进行动态特性混沌特征验证，但谱分析只能确定振动是否随机，无法确定该随机振动来 自于随机扰动还是确定性系统的内禀随机性，因而无法区分混沌振动和随机振动 。王林鸿等 。 通过功率谱、相平面轨迹、关联维数和最大李雅普诺夫指数等特征量揭示了滚珠丝杠的混沌特征。笔者采用主分量分析方法 (principal component analysis，简称PCA)[1 对滚珠丝杠振动混沌特征进行辨识，该方法是近年来提出的可以有效区分混沌与噪声的方法，能够达到系统动态特征性识别的目的。PCA分析的基础为相空间重构，该思想由 Packard[1 ]提出，主要包括导数重构法与延迟重构法，前者虽然物理意义明确，但易受噪声干扰且坐标尺度差异大，从而使用受到限制。目前常用延迟重构法[1。 。针对某-时间序列 (ti)，J-1，2，，N，通过选择合适的时间延迟 r与相空间维数 m，构造如式 (27)所示的相空间u(t1) u(t1 u(t1(刀z-2)r) u(t1( -1)( 2) ( 2r) u(t2( -2) u(t2(m-1) ； (zM) ( Mr) u(tM( -2)f) u(tM(m-1)r)(27)该相空间为MXm矩阵，且M-N-(m-1)r，将该相空间矩阵的协方差矩阵的特征值 与特征向量称之为主分量～特征值按降序排列后，以序号 i为横坐标，ln(a / )为纵坐标得到的图为主分量i-1谱图。噪声信号和混沌的主要区别在于，噪声信号的主分量谱图为横坐标近似平行的直线，混沌的主分量谱图为斜率为负的过定点直线[1 。

针对沈阳机床厂生产的某型号数控机床进行动态特性实验，工作台的往复运行速度为300 cm/min，三向加速度传感器的采样频率为 2.56 kHz。工作台振动的加速度信号频谱分析如图 3～5所示(传感器安装在工作台底部靠近丝杠-螺母接触副部分)。

no 曩- 口 4IlkHz图 3 方向的加速度谱分析kI-Iz图4 Y方向的加速度谱分析lkHz图 5 方向的加速度谱分析6 4 2 O 8 6 4 2 O 1 1 l 1 O O O O O 8 7 6 5 4 3 2 1 O 。

振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷周期运动或准周期运动的谱分析图-般具有-个或者多个突出的谐波成分[1引。图 3～5中，加速度谱成分较为复杂，在较宽的频带内具有明显的连续谱，这符合混沌运动的谱分析特征。取相空间维数为8，对工作台位移振动信号进行相空间重构。取相空间矩阵的前 3列作相空间轨迹图，如图 6，8，1O所示。

可以看出，其相空间轨迹为非封闭曲线，且在有限区目、 趟I 《U山 图6 X方向相空间轨迹图 7 X方向主分量谱图05图 8 Y方 向相空间轨迹图 9 Y方向主分量谱图域内作往复非周期运动，符合混沌运动的相空间轨迹特点。图 7，9，11为各向主分量谱图∩以看出，其均为斜率为负的过定点直线，均符合混沌运动的主分量谱图特点。通过动态特性实验，对滚珠丝杠的动态特性的混沌特征进行了验证，说明了滚珠丝杠动力学模型及其特征描述的正确性。

U山 图 10 z方向相空间轨迹3 结 论图11 方向主分量谱图1)基于铁木辛柯梁假设，综合考虑丝杠剪切与弯曲效应，建立其丝杠-工作台系统的动力学模型。

分析得出：各向振动之间存在着非线性耦合因素；且横向振动表现为受迫达芬方程的混沌运动形式，受迫激励来自于弯曲振动的耦合影响，其产生的原因是由于铁木辛柯梁假设下梁的剪切变形所引起。根据混沌理论可知，由截面效应与剪切效应共同作用而引起的受迫激励及达芬方程系数参量值的变化将会使丝杠混沌运动性质不同于以往滚珠丝杠系统非线性振动描述的运动特性。

2)通过动态特性实验，运用主分量分析法，验证了滚珠丝杠动力学模型及其特征描述的正确性。

3)通过建立的丝杠受迫振动达芬方程，借助于相关非线性理论实现系统稳定性分析，为机床振动控制与动态特性研究提供了重要基矗叭 ∞ m c； OIIIⅢ 、0 1 1 c；。