一种新型四自由度并联机构的工作空间分析

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在航空航天制造领域 ，有-类大型或超大型结构件需要通过高速铣削加工来完成，其非常高的材料去除率(有时可达 8O )对加工装备的加工效率提出了特殊要求。目前，此类装备中应用最为成功的代表性范例是基于并联拓扑的可重构拈[1 ]。

新型并联机构 2PUS-2PRS具有 2个平动 2个转动共 4个 自由度，因此适于作为可重构并联拈，用于搭建大型结构件高速铣削的柔性加工单元。

然而由于并联机构为多支链空间闭式结构，其位姿空间较小，因此常常被视为评价并联机构性能优劣的重要指标之-，也是进行机构尺度参数设计的重要依据 ]。目前，并联机构工作空间的确定方法主要有数值法和解析法 ]♀析法方面最具有代表性的有 Gosselin的几何法[5]，利用曲面求交的方法得出其工作空间为 6个球壳的交集。黄田等 ]以集合论和微分几何为工具，研究了 Stewart并联机器人的工作空间的解析建模方法，并且应用单参数曲面族包络理论，通过对若干变心球面族的包络面求交集，得到了其工作空间，此外，刘辛军等 J，王奇志等 。 应用此法研究了并联机构。几何法求解并联机构工作空间的优点是避免了复杂的数学运算，可以通过相关软件直接展示出工作空间的区域范围，但是不易实现程序化，尤其涉及到空间优化及性能评估较为不方便。数值法是以极值理论和优化方法为基础的，主要是利用并联机构动平台的约束条件，通过计算并联机构工作空间边界曲面上的特征点，构成边 界 曲面，进 而确定 工 作 空 间的边 界 范围9-12]。数值法的主要缺点是需要迭代的次数多，计算效率低，耗费时间长；其优点是易于程序化，概念清晰。

· 3 ·工对 2PUS-2PRS机构的结构约束特征进行分析，可知动平台参考坐标点的运动区域为-平面，可选用几何包络面相交理论来求解该并联机构的工作空间。

1 并联机构拓扑结构描述2PUS-2PRS并联机构的实体模型如图 1所示，包括定平台、动平台和连接两平台的4条运动支链。其中无约束支链 1，3的拓扑结构相同，从定平台到动平台的连接依次为移动副(P)，虎克铰(U)，球铰副(S)；约束支链 2，4的拓扑结构相同，从定平台到动平台的连接依次为移动副(P)，转动副(R)，球铰副(S)。其拓扑结构可以表述为：，-- -、 ，---- 、I-Pf上R 1上Rf2-RnR4R 5- ( ：1，3) 上l-P lRn-R R4Rf5- (i-2，4)两平台的拓扑结构为 R lI R 。，R。 l尺。 ，Rj-R P 1l P I P。l P ，且 4个球铰副中心共面。

动平台的输出特性为：My-M 删.3)nM (2.4)r t (-l-R21) ]l r。(Il 0(R ，P。- ))l。 和M坤 分别为 2个子并联机构的输出特性 ；t。(上R。 )表示末端在垂直于转动副轴线方向存在 2个有限移动；r (I J0(R。 ， ))表示末端在平行于转动副轴线和球铰 2，4中心连线组成的平面内，存在2个有限转动。

平台图 1 2PUS-2PRS并联机构 CAD模型2 机构位置逆解分析2.1 坐标系的构建为了便于分析 2PUS-2PRS并联机构的运动学逆解，建立如图 2所示的结构简图及坐标系。在固定坐标系O-XYZ中，o为定平台的中心，X轴· d ·与A A。方向矢量相同，A (i1～4)为移动副初始状态下与定平台的相交点，z轴垂直于定平台，y轴满足右手定则；在动坐标系P- 仉 中，P为动平台的参考中心， 轴与B B。方向矢量相同，B 为球铰副中心，叫轴垂直于动平台， 轴满足右手定则；C为垂直导轨与固定杆的连接点，l 和W 分别为固定杆$ C 的长度及方向向量 。

图 2 2PUS～2PRS并联机构2.2 位置逆解分析2PUS-2PRS并联机构的位置逆解是已知机构动平台的位姿参数，求解机构 4个输入变量(d ，d ，d3，d4)。

动平台相对于定平台的位姿变换可以用 X-y- X 型的3个欧拉角( ， ， )进行描述，其相应的姿态矩阵为 ：R--rot(，x)rot(0，Y )rot( ，Xt)cO s ] ls s cc-s c s -cs-s c l l-c s s c c c s -s s c c j(3)c(·)表示 cos(·)，s(·)表示 sin(·)。

各支链与定/动平台的连接点 A /B 在各 自坐标系中的位置向量分别为a (co ，sin ，0) 和b。 ：(cosp，，sin，，0) ，其中， -7(i1)/2为各运动副轴线分别与 X轴和 轴的夹角。

给定动平台参考中心 P的位置坐标r -(P ，P ，P ) ，则由矢量方程可表述为：r - n dP liw -R ·bo (4)d 和e 为移动副的移动位移。

由于约束支链中转动副轴线相互平行所导致的几何约束，使得约束支链中球铰副的中心坐标沿 X轴向的坐标为 0，即fb2 0lb ：0 (5)《机械与电子)2013(7)工动平台上各球铰副中心的位置向量 在定坐标系中表示为：6i-r AR日易of (6)将式(5)代入式(6)得：sin - (7)lP ：o不失-般性下，选取( ，z， ， )为动平台位姿参数，则该并联机构的位置逆解通过以下约束方程得到：IJ R·b0f-Qf-d e lz i-1～4 (8)因此，可得并联机构的位置逆解为：d1P bcossin0±/，zj-(a-bcosO) -(P -bsingtsinO) (9)d P -bsin F(10)d3-P -boossin0千/z；-(a-bcosO)。-(P，bsinWsin0) (11)d -P：bsin F 两(12)从上述分析结果可知，2PUS-2PRS并联机构的运动学逆解有 16组解。

3 工作空间的确定3.1 定姿态工作空间定姿态工作空间定义为当并联机构动平台的姿态保持不变时，动平台上参考点所能够到达的所有点的集合。

由式(8)可得 ：(P - ) (P bcosgtsinO-d1) l-(13)(P -6cos 口)。(P -6sin ～ 2) l；(14)(P ) (P ～6cos sin - 3) -l；-iv/。

(15)(P bcos-a)。(P bsin-d4) 缓(16) bsinsin0 口-beos0由上述方程组可知，当给定动平台的姿态角 0和 ，方程组解的几何属性为在 0-YZ平面内的 4个相交圆的交集。

对于无约束支链 1，该方程组的圆心坐标为《机械与 电子 2013(7)(bsinsin0，dl-bcossin0)，半径为/砰- ；对于约束支链 2，其圆心坐标为(bcos-口，d2bsin)，半径为 l。；对于无约束支链 3，其圆心坐标为(-bsinsin0，d3bcossin0)，半径为 /z；-/2。；对于约束支链 4，其圆心坐标为(口-bcosW，d -6sin )，半径为 l4。

从各支链末端参考点的圆心坐标可以看出，当给定姿态参数0， 后，各支链的y轴坐标为常数，Z轴坐标是输入参数的函数。当给定输人参数的范围后，各支链解的几何图形表示简单且相似，简化了求解过程，从而能快速计算出并联机构的工作空间。

当给定各驱动输入参数的范围 d ∈[ ，d ]，通过上述分析可以得到，每个支链末端的子工作空间为无数条相同圆的包络面，则该并联机构的定姿态工作空间为这 4个包络面的交集，如图3所示。

图 3 定姿态工作空 间的构造3.2 可达工作空间由 2PUS-2PRS并联机构的位置逆解方程组(13)～(16)可知，当不锁定动平台姿态角的情况下，无约束支链末端点的集合表示为球体的包络面，而约束支链末端的集合为圆的包络面。这些包络面的交集构成了并联机构的可达工作空间，且为空间平面。由于姿态参数与位置参数强耦合，导致其解析表达形式复杂，难以直接求解；而采用极限边界搜索法求解时，效率低下