5-3型6-SPS并联机构位置分析的正逆解析解

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中圈分类号：TH 11 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.2095-0411.2013.02.018Analytical Solutions to the Forward and Inverse Positions of5-3 Type 6-SPS Parallel M echanismHUANG Tao，SHEN Hui-ping，YU Tong-zhu，DUAN Suo-lin，YANG Ting-li(Institute of Robot Research，Changzhou University，Changzhou 2 1 30 1 6，China)Abstract：Based on the mechanism structure theory of single-opened-chain，the coupling-degree of 5-3 type6-SPS paralle1 mechanism is calculated to be 0，and analytical expression of forward position analysis canbe carried out from calculating each basic kinematic chain. And the results of forward position analysiswas verified by inverse position analysis. The algorithm had simple solution principle and clear geometricmeaning.W hat's more，the analytic expression of forward and inverse position analysis was beneficial toreal-time control and solution the work space and error analysis。

Key words：6-DOF；parallel mechanism；forward position analysis并联机构位置正解是研究机构运动学和动力学的基矗在机构尺度综合、奇异位形分析、运动标定、输出误差分析和轨钾制等方面，都需要获得机构的位置正解。并联机器人位置反解容易，而位置正解需要求解-组强耦合非线性方程组。国内外学者采用数值法和封闭解析法[1]对位置正解进行了研究。

数值法的特点是数学模型比较简单，省去了烦琐的数学推导，但这种方法的计算量大、速度慢，可能得不到机构的所有位置解，典型的数值算法有Newton-Raphson法、同伦 连续 法 和齐次 化法等[2 ；解析法的特点是数学推导、消元过程复杂，计算量大，包括矢量代数法、几何法、矩 阵法等 引。

本文采用基于耦合度分析的机构正解求解方法，即分析计算出 5-3型 6-SPS六 自由度并联机构的耦合度为 0，直接应用几何法并利用直角坐标的形式求出其位置正向解析解的通用表达式，又通收稿 日期 ：2012-10-30基金项目：国家自然科学基金项 目 (51075045)；江苏省重大科技支撑与自主创新项目 (BE2010074，BE2010061)作者简介：黄涛 (1988-)，男 ，江苏南京人，硕士生；通讯联系人 ：沈惠平。

黄涛，等.5-3型 6-SPS并联机构位置分析的正逆解析解 ·73 ·过求解机构位置反解，验证了全部正解的准确性。

这种基于结构耦合度分析的解析方法无须通过复杂的数学方法来建立、推导、求解机构位置方程组的-元代数高次方程，具有计算十分简易、便于实时控制及其后续的工作空间、误差分析研究等优点。

1 并联机构的结构组成与耦合度分析5-3型 6-SPS并联机构如图 1所示，由 6条SPS支链连接动、静平台而成，5-3代表静平台含有 5个支点，动平台含有 3个支点。该机构由-条简单开链 S0C、两条混合链 HSOC及动、静 2个平台构成，上平台为腰长为 e、底边长为 ，的等腰三角形，下平台为边长为a的正五边形；简单开链SoC5支路为 -S。-P。-S -)型，第 1混合链HSOC 支路为 3条 -S-P-S-)支链重合于动平台上的-个三重球副 S。，第 2混合链 HSOC。

支路 2条 -S-P-S-)支链重合于动平台上的- 个二重球副 S。，其中，下平台上的S。为二重球副，P 、P。、P。、P 、P 与 P 为主动副。

圈 1 5-3型 6-SPS穴 目由度 并联机构结构简图Fig.1 Structure diagram of 5-3 type 6-SP$six。degree-of-free-dom parallel mechanism由基于序单开链的机构结构理论[4-s 可知，图1所示并联机构，共有 5个独立回路，其独立位移方程数 6( 1-5)，其约束度△ ( 1-5)及机构耦合度计算如下：取 S0C -Ss-Ps-S8-P -S -)，帆 1△ ∑ -I1-a8-2-6--0，k1-O取 SO -R - s-S8-P3-S3-)，△ 2∑ -I2-＆-7-1-60，k2：0t l取 SOC3-5l-Pl-S -P -S5-)，，l3△3∑， -I3-已-8～2-6O，是3-O取 S0C4-R l- 5-S6-S8～)，，，ld△4∑，f-I4～&-6-O-6O，k4O取 S0C5-Rs6-s8 -S7-P2-S2-)m 5△5-∑厂i-I5-67-1-6：O，k5-O式中， 为第 i个运动副的自由度；L为第 个单开链的主动副数；这样，该机构包含 5个基本运动链 (BKC)，且 k 0(i1-5)。机构耦合度 k(足≥O)揭示了机构结构的复杂程度 川，k值越大，机构的结构越复杂 .对于 k-0的机构，可直接得到运动学正向解析解；对于 是≥1的机构，运动学正解不能直接求解解析解，而只能采用 k维搜索法求解数值解。

2 位置正解分析正解问题归结为已知 6-SPS机构的 6个主动输入 z 、 、z。、z 、z 、z ，求动平台点的坐标 0，(z，Y，2)及其姿态角。

不失-般性，建立静坐标系 0-XYZ，Q为球副 S 、S。的中点，原点 O为S S。与QS 交点，X轴沿轴线S S。的方向，y轴沿轴线QS 方向，z轴由右手螺旋确定。动平台上 S S 的底边中点作为动坐标系原点 0，，z轴沿S S 方向，轴沿0 S 方向，Z轴同样由右手螺旋确定。设 6个主动输入分另U为S1 S6z1，S2S7-z2，S3S8-z3，S4S8-z4，S S -Z ，S S -z。，则动坐标系0 与静坐标系。

间的变换矩阵为Q可写成：Q- [R ][R ][R ]l q岛C7o -嗡syo II SaosC7"o十caosyo - 。 syoo蛳sYo -saocL-Cao Cyo十saoSo CaoSoSTo C7o Caoq岛.j式中，S、c分别表示 sin、COS，a0、 、yo分别为动坐标系 0 相对于静坐标系X 轴、y轴、Z轴的转角，则动平台 o，上任意-点S 在静坐标系下0的坐标可表示为S -QS， P (1)式中：S -该点在静坐标系下的坐标；S -该点在动坐标系下的坐标；P-动坐标系原点 0，在静坐标系下的坐标。

· 74 · 常州大学学报 (自然科学版) 2013生2.1 由HSOC 求 S。点的位置由SOC。、SOC2组成第 1混合链 (HSOC )的计算模型，如图2所示，设 s 为 Ss到S。S 的垂直距离， 为平面 S。S Ss与下平台平面的夹角。

图 2 第 1混合链 (HSOC，)计算模型Fig.2 The first hybrid chain (/-SOC，)calculation model由 S。S S 的几何关系，得 h。 为- /--1-2-1-z- a2故 Ss的坐标：[-Xs。，Ys8，Zs ](2)h f4l口l c 口l华 cos c～J142J5)。 . im 。

. 由 z ，得 值，arccos( ) (3) a34： -1广-J 5J式中，A lj-h 3B- 口c c华口 ]c- ( 4D：J lO- 2J. 1) 2.2 由HSOCz求 Se点的位置T易知，SOC。构成第 2混合单开链 (HSOC2)的计算模型，如图3所示，设 hs 为 S 到StSs的垂直距离， 为平面 S S S 与下平台平面的夹角。

图 3 第 2混合链 《HSOC2)计算模型Fig.3 The second hybrid chain (HSOC2) calculation model由As5S S。的几何关系，得 hs 为h51故 S。的坐标：Ixs 6，Ys 6，Zs 6] C0$6f51-I-(4)[.-学口 c 口)]4 cv /]O2v。

h51·sin-，52.3 由第 4简单开链 (SOC )求出由S。、S。点满足杆长条件SeSse得：C1·COSa5lC2·sina51C30，且似 n (5)其中'C1： .A. - 4 .BC2 - 2 h34·h51 sinaC3-A B。 ；l h 24·sin≮34-P。

A s 口. c华 口 - ·c 口B 华 ·COS34 ·c-J-1o 2J口) - · ( n)2.4 由SOC5求 S 点的位置T由S -P。-S 构成第 5单开链 (SOCs)，则黄涛，等.5-3型 6-SPS并联机构位置分析的正逆解析解 ·75 ·由3个杆长条件S S -厂，求出 S 点的位置如下：[Xs ，Ys ，Zs ]-Ss$7 e，$7S2lz，易 [Xs ，Ys ，Zs ][ ，些 ，其 中：A ；甜i1B-2 l(kl-Xss) 2uz(k2-Zss) -2yC： (忌z-Xss)。 (k2- ) yU l～ )( - )- (ys8-ys2)(Zs8- )(xS日-Xs6)(Zs8- )- ( -xs2)( -ZS6)k1：(Me2 )(ZS日-Zs2)- (N-ezlZz)( -ZS6)( -xs6)(zS8-ZS2)- (xSB- )(Zs日-Zs6)2(ys日-yS6)(xsB-Xs2)- ( - )( -XS6)( -Zs6)( -Xs2)- (Zs8-Zs2)(Xs8-Xs6)k2(M。 )(xs8-xs )- (N-ez鹾)(xs8-Xs )(ZS8-Zs6)(Xs8～xs2)- (ZSg- )(xS日- )M：x；。y -kY2s- (x 。 )N：X§ 。 。- (X§ Y 。y§：)进-步，由 S。、S 两点的坐标求出动平台上点的坐标为 ：[x ， ，Zd]-f. 1(x 。x )， 1(ys ys，)， 1(z ZS )]另-方面，S。、S 、S 3点坐标还可 由式示 ：[Xs。，Ys ，Zs。]：- - -下- - c。 cos7oXa- f2- 2(sina0 sinflocosTo COSOtosinTo)(-COSO/0 sinflocosyo sinao sinTo)于是，由式 (7)及式 (8)得：f (Xs.- X )吐 狮 - 2√ -(专) (xs。-x )。

2 (Xs - X )- ∞∞-7 - 2arctan A-- J AZ孚B2- Cz(9)T10)其中，A sin sin70，B：cos'0，c： sL √ (等)。至此，动平 台上 的位置及其姿态角 (a。，，70)已全部解析求出。

3 位置逆解分析在图 1中，已知动平台点 0，的坐标 ( ，Y，z)及其姿态角 (ao， ，7o)，求机构的 6个主动输入 zl、z2、l3、l4、l5、z6。

(6) 动平台上 S。、S 、S 坐标如式 (7)- (9)，(1)表 于是：① 由式S S -l 得 ：(-sina0 sin岛sinTo COSt/ocosTo)(COSOto sinflosinTo sinaocosTo)zd(7)[Xs ，Ys，， ]：等c。 cos70X等(sin 。si嗥c。s，0c。s into)等(-c。sa。sin c。s，0sinao sin7o).r /，(xs -xs )。 (ys。-Ys，)。 (zse-Zs，)② 由式S7S2l2得 ：(11)/ 旦。 l、，./10q-2 -f。

③ 由式S8S3I3得 ：(8)④由式S。S l 得：lf、，-41o-2 -I (12)(13)(14)T 1 j y2 · 76 · 常州大学学报 (自然科学版) 2013正④ 由式S8S l 得 ：季⑤ 由式S。S -l。得 ：4 正逆解数值算例(15)(16)选取图 1机构的结构参数 a40，g5O，厂6O，且输入量为 zl60，z25O，zs-70，z460，5-50，z6：70(单位：cm)，则由 matlab编程由式 (6)～ (10)可计算出机构的八组正解实数解，如表 1所示 。

分别将上述 8组正解值依次代入逆解方程(11)～ (16)，由 matlab编程可计算出机构对应的8组逆解实数解，如表 2所示。l -60土△z ，z。

：50-4-Al2，Z3 70土△Z3，Z46O士AXl4，l5： 50±Al5，l670士△z6， l△zl≤10 (mm)( -1-6)，从而验证了正逆解求解的正确性。

表 1 5-3型 6-SPS并联机构位置正解数值解Tab.1 The forward position numecal solutions to 5-3 type 6-SPS parallel mechanism5 结 论(1)基于序单开链的机构结构理论，通过计算机构的耦合度 志来判断位置正解的难易程度并直接求解的位置正解方法，分析过程简明、物理意义明晰。

(2)分析计算出5-3型 6-SPS并联机构的耦合度为 0，直接通过依次求解各个基本运动链的位置求出了机构位置正解的解析表达式，并通过求解位置反解及算例，验证了位置正解的准确性。

(3)导出的机构位置正解解析表达式为后续的工作空间、误差分析、实时控制等后续研究奠定了基矗