新型两驱动空间并联机构的结构分析

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并联机构具有刚度高、承载能力强、动态性能好以及结构紧凑等特点，其应用几乎涉及现代尖端技术的各个领域，并且在某些工业领域中已经具有相当重要的地位和价值，如航空航天的运载工具模拟器、空间位 姿测量 机、并 联机 床 和航 海 潜艇 救援 对 接器等 。

二 自由度并联机构是并联机构的-个重要研究分支。根据统计，现在已经公开的并联机构类型中，二 自由度的占10.5%k3 J。国内也有诸多学者对二 自由度并联机构进行了研究，并取得了不同的成果。李为民 刮提出了-种全新的二自由度球面并联解耦机构，该机构采用非对称链式形式，其动平台具有绕轴和y轴旋转的两个自由度。黄真 以二自由度并联机器人为研究对象，全面系统地分析了平面二自由度5R并联机器人、平面二自由度驱动冗余并联机器人、球面二 自由度5R并联机器人以及球面二 自由度驱动冗余并联机器人的运动学性能。薛建彬 设计了-种新型的二自由度并联机器人机构，该机构采用平行四边形结构限制了其末端产生的旋转运动，具有定位平面内两个移动自由度，使工作台始终保持垂直向下。

但是在-些较为特殊也比较重要的诚，比如：无人驾驶智能车的路况监测设备、交通电子眼，以及导弹发射装置中，适时需要动平台能够在任意方向以任意角度旋转或摆动，并且这种需求越来越迫切。笔者研究了-种新型的两驱动空间并联机构，该机构具有驱动少、工作空间容积大等显著特点，并基于螺旋理论，对其构型进行了分析和研究，计算该机构的自由度，为后续的工作空间、运动学和动力学分析奠定了基矗1 两驱动空间并联机构模型笔者研究的并联机构采用对称支链形式，其构件国家高科技发展支撑计划项目(2012AA112101)；天津市应用基础与前沿技术研究计划(自然科学基金)重点项 目(12JCZDJC34600)46许爱芬，等：新型两驱动空间并联机构的结构分析 2013年第6期组成如图 1所示。动平台通过四组支链与定平台相连。每组支链包含三根杆件，杆件 1、杆件 2和杆件 3为-组，称为支链 1；杆件 4、杆件5和杆件 6为-组，称为支链 2；杆件7、杆件 8和杆件9为-组，称为支链3；杆件10、杆件 11和杆件 12为-组，称为支链4。支链 1和支链 2的构件尺寸和形状完全相同，二者分别与两个驱动电动机连接。支链3和支链4的构件尺寸和形状完全相同，作为从动支链传递运动。杆件与定平台、杆件与杆件、杆件与动平台之间均通过转动副连接。

根据机构学通用命名规则，笔者将这-并联机构命名为4.RRRR并联机构(简称 4/t机构)，即表示该机构有四组运动链并联，每个运动支链由三根杆件及四个转动副组成，通过转动副与动、定平台进行连接。

以支链 3为例，该机构 自下往上，第-个转动副(图 1中的转动副①)的轴线平行于定平台；第二个转动副(图1中的转动副②)轴线过定平台的圆心；第三个转动副(图1中的转动副③)轴线过动平台的圆心；第四个转动副(图1中的转动副④)的轴线平行于动平台。

2·- 杆件◆- 转动副- 平台图 1 并联机构的构件组成并联机构模型简图如图 2所示，机构的原动件是连接定平台的曲柄和摇杆，两个驱动电动机的轴线相动平台图2 并联机构模型简图互垂直。摇杆绕转动副的轴线摆动，即可带动相应的杆件组运动，进而动平台可以实现绕与动平台平行的任意水平轴的0。-180 o的摆动和绕垂直轴的任意锥角的转动。

2 各支链的约束螺旋分析2.1 直线的矢量方程 J直线的矢量表示如图 3所示≌间两点 A( ，Y ，gA)和n(x口，Y ， )，若按-定的顺序连接这两点，就决定了-条空间直线的位置和方向，这条有向直线可用矢量 s表示。在直角坐标系中，s与其三个分量的关系为：S( 口- A)i(Y日-YA) (zB-ZA)k (1)式中 j，k分别为 、l，、z向单位向量。

直线在空间的位置可通过该直线上某点 的位置矢量 给定。这样，这条直线的矢量方程可写为：( - )×S0也 即：×Sr。×S (2)令 S。 ×S，则称 s。为矢量 5对原点 O的线矩。线矩也是矢量，其大邪方向与矢量 s及 rⅡ的大型它们相对坐标系在空间的方向和位置有关。

式(2)可以改写为：×SS0 (3)直线矢量方程中的两个参数 s及 .s 也是齐次坐标，这种满足正交条件的齐次坐标(S；S )表示了直线在空问的位置及方向，称为直线的 PlUcker坐标，或Plucker线坐标。两个矢量 5和 s。都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样 PlUcker坐标的标量形式即为( ， ，Ⅳ；P，Q，R)。其中，、 、J7v是有向线段 s的方向数，P、Q、R是该线段对原点的线距在 、y、z轴的分量。

y图 3 直线的矢量表不2.2 线矢量与旋量如果空间-个矢量被约束在-条方向、位置固定的直线上，仅允许该矢量沿直线前后移动，这个被直472013年第 6期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)线约束的矢量称为线矢量。这样，线矢量在空间的位置和方向就由矢量 Js和其线矩决定，并且 Js与 s。正交，即s·S。O。线矢量的 Plticker坐标即为(S；.s0)。

矢量 的线矩如图4所示，矢量 S表示直线的方向，它与原点的位置无关；线矩 S 与原点的位置有关。若原点 的位置改变，由点 D移到点 C，矢量 Js对点 C之线矩 S 为：图4 矢量的线矩CScr ×S(CDrd)×SCD×SSD (4)表示线矢量的两个矢量可以结合成对偶矢量的形式，记为S，则有 引：rSS∈s0≮ S· S00(5)式中：∈为对偶标记。

- 般情况下，对偶矢量的原级矢量和次级矢量不满足矢量的正交条件，即s·.s。≠0，此时对偶矢量称为旋量。此种情况下，将 S。记为 .s。，以表示与线矢量的区别，即s·.s。≠0。旋量(又称螺旋)也记为$，则有：J$S∈s。 (6)在决定旋量的两矢量中，5与原点的选择无关，Js。

2.3 螺旋系与反螺旋1叫- 系列旋量$ ，J$ ，，$ 构成-个螺旋系。对于-个螺旋系中/'t个螺旋$ S ∈.s 。，i1，2，，凡，当可以找到-组不全为零的数 ，使得：∑ $ 0，即：∑o.)iS ：0，∑toiS 。0，则称该螺旋系线性相关；反之则为线性无关。需要注意的是，坐标系的坐标原点移动之后，旋量的相关性关系不变，也即相关性与坐标系原点的选择无关。

如果两旋量表示为：S 1S1∈.sl。，$2S2∈s 。，根据螺旋理论，它们的互易积表示为：$ O$：：$ ·s 。S：·Js 。 (7)当$ 与$。互易积为零，则称.$ 是 J$。的反螺旋。

当$：是 .$ 的反螺旋时， 。也必是 I$：的反螺旋，它们是互逆的。反螺旋用.$ 表示，对于螺旋$ 而言，如果存在-个$ ，能同时满足式(8)，则S 是螺旋I$ 的反螺旋。

4RS o$ ：0 i1，2，，n (8)若螺旋 、反螺旋 .$ 分别以Plticker坐标表示，则为：$ ( ， ，N ；P ，Q ，Ri) $ ( ， ，Ⅳ；尸 ，Q ，R )由于S oJ$ 0，则有：L P M Q Ⅳ R P L Q M R Ⅳ 0i1，2，，/7， (10)式中： 、 、 为螺旋S 的方向数； 、Q 、R 为螺旋S对原点的线距在 、y、z轴的分量； 、 、J7vr为反螺旋$ 的方向数；P，、Q 、R 为反螺旋$ 对原点的线距在 、y、z轴的分量。

当机构所有运动副构成的螺旋系的秩小于 6时，自由度 F<6，此时式(10)有解 ，必存在与螺旋系中每- 个螺旋都相逆的反螺旋I$ 。当运动螺旋系的秩是时，反螺旋的数 目是 6-W，并构成 6-W个螺旋的反螺旋系。例如单螺旋(W1)的反螺旋系有五个反螺旋，双螺旋系(W2)的反螺旋系有四个反螺旋。

从物理意义上看，运动螺旋的反螺旋相当于作用于物体的约束反力，力螺旋对运动螺旋的功为零。对并联机构而言，其末端执行件运动撒于含有 rt个螺旋的螺旋系，当螺旋系存在反螺旋，则不论该螺旋系如何线性组合，都存在：$ o∑ $i0式(11)表示了机构末端执行件存在的运动与反螺旋的关系是它们的互易积为零；相反，被约束了的运动，与反螺旋的关系是它们的互易积不为零。所以，反螺旋反映了物体被约束的运动和物体为约束所允许的运动。因此，通过求解机构各执行件的运动反螺旋就可以确定该机构的公共约束。本文依此理论对该新型并联机构的公共约束进行了分析和计算。

2.4 机构公共约束的计算依据本文第2.3节的分析结论可知，当分支运动链中所有的运动副都用单位运动螺旋表示时，则这些单位运动螺旋构成分支运动螺旋系，分支运动螺旋系中所有螺旋相逆的全部线性无关的反螺旋构成分支约束螺旋系，分支约束螺旋系描述了分支运动链对平台施加的约束。

本文所述并联机构的运动是通过各个支链 的运动副实现的，每个支链均包含四个运动副，各运动副的螺旋如图5所示。笔者用$ 表示第P个支链中第m运动副对应的单位运动螺旋，L M 、Ⅳp 是螺旋许爱芬，等：新型两驱动空间并联机构的结构分析 2013年第 6期$ 的方向数，P Q 、R 是其对原点的线距在x、y、z轴的分量；$： 表示第P个支链第 m个运动副施加给动平台的约束螺旋(即反螺旋)， 、 、 是反螺旋S r 的方向数，Pp 、Q 、R 是其对原点的线距在 、l，、z轴的分量。这其中，P：l，2，3，4，m1，2，3，4。比如，S 、J$ 、S 和.$。 分别表示支链 1中的第- 个转动副、第二个转动副、第三个转动副和第四个转动副的单位运动螺旋。初始位置下，动平台平行于定平台。其中各支链的第-个转动副①的轴线和第四个转动副④的轴线平行于定平台；各支链的第二个转动副②的轴线过定平台的圆心；各支链的第三个转动副③的轴线过动平台的圆心。选取定平台圆心为参考坐标系 0-XYZ的原点 0，参考坐标系 z轴垂直于定平台向上。

图5 并联机构各运动副的螺旋根据图5所示关系，可以求得四条支链的运动螺旋及其反螺旋分别如下 ：支链 1运动螺旋系为：f$1l(1，0，0；0，0，0)$ 12(0，，M 1。2，，Nt 2；0P， ，0S 。')0 (12) I3 3 13l3，S l4(1，0，0；0，Ql4，0)对式(12)求其反螺旋得支链 1的约束螺旋为：J.$r· (o，0， ；0，0，0 (13)S r。 (1，0，0；0，Q ：，JRr。 )支链 2运动螺旋系为：fS 2l(0，1，0；0，0，0)(L2，0，N2；0，0，0) )I S 23(L： ，0，Ⅳ2，；0，Q2 ，0) 、$24(0，1，0；P24，0，0)对式(14)求其反螺旋得支链 2的约束螺旋为： 21：(0，0，l；0 ，0Sr 1 0。 ， l控，，； ：，，R )支链3运动螺旋系为：S 31(1，0，0；0，0，0)$3，2，((0，，Ml3z， ，，Nv33，2；；0P， 0S 0 ，0。

0) (16)3 3Ⅳ 3，，)$， (1，0，0；0，Q ，0)对式(16)求其反螺旋得支链3的约束螺旋为：眨S r1 0 0 (，，；0，Q； ，尺；：)支链4运动螺旋系为：S 41(0，1，0；0，0，0)$ 42-'((L42 ，0， N42；0，0 ，0)S L4 0 Q 0) (18)43 3，，Ⅳ43；0，43，)S (0，1，0；P4，0，0)对式(18)求其反螺旋得支链4的约束螺旋为：f$4rl(0，0，1；0，0，0) ，. 、$ (0，1，0；Pl2，0，R )由式(13)、式(15)、式(17)和式(19)的计算结果可知，四条支链各自反螺旋具有相同的约束螺旋S。r(O，0，l；O，0，0)，根据公共约束存在的几何条件(如果每个支链对动平台施加的同类约束满足共轴的几何条件，则构成-个螺旋 1系，即该机构有-个公共约束)n ，该$r。，是该4R机构的螺旋 l系，构成-个公共约束，共同约束了平台沿z轴的移动。

3 机构自由度的计算机构自由度 F可以通过经典的 Kutzbach-Grtibler公式计算，即：gF6(e-g-1)∑ (20)对于多环并联机构，计算自由度时还需要考虑公共约束、冗余约束以及局部自由度等，得到修正的Kutzbach.Gribler自由度 F 为：F a(e-g-1)∑ 口- (6-A)×Z1g(e-g-1)∑ - (21)式中：A为并联机构的公共约束数目；d为机构阶数，d6-A；e为包括机架的构件数目；z为运动副的数目，z1，2，，g 为第 z运动副的自由度； 为多环并联机构在去除公共约束的因素后的冗余约束数目， 492013年第6期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)s(q-A)-t，s为机构的支链数目，g为各个支链的约束数目，t为除公共约束外，剩下的约束形成的螺旋数目； 为机构中存在的局部 自由度。

根据本文第2.4节的分析结论，该机构存在-个公共约束，即A1。除公共约束外，剩下的四组约束形成三系螺旋(三系螺旋表示四组约束中只有三组不具备线性相关性，是机构的真正约束，其余为冗余约束)，即 t3；机构共有四个相同的支链，每个支链有两个约束，即s4，g2。因此冗余约束的数目 ：s(q-A)-t4(2-1)-31。

该4R并联机构中，有14个完全不受约束的物体(12个杆件和动、定平台)，即e14；有 16个转动副(每个支链各有 4个运动副)，即g16；每个转动副 自g由度为l，故∑ 16；SLA1， 1，没有局部自由度， 0，由公式(21)可得：gF d(e-g-1)∑ - l1g(6-A)e-g-1)∑ - f l(6-1)(14-16-1)161-02由此可见，该并联机构的自由度数为2。

4 结语1)螺旋理论可以方便地用来分析少 自由度并联机构而且效果明显。

2)修正的Kutzbach.Grtlbler自由度计算公式普遍适用于少自由度并联机构自由度分析和计算。

3)通过自由度计算，证明整机的自由度数为2，需要两个输入机构的运动即可，因此，采用两个电动机作为机构输入的驱动是合理的。