考虑摩擦的结合面法向刚度分形模型及仿真

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实际工程结构表面都不是绝对光滑的，为了更好地理解结合面的振动摩擦特性，就要从微观层面来解释结合面之间的摩擦、磨损以及润滑等接触问题1]。随着分形理论的提出，可以利用与测量尺度无关、具有尺度独立性的分形几何理论来研究表面微观形貌所有尺度上的特征及其对结合面的功能特性的影响。由于精确的结合面的动力学模型对于分析机械结构的动力学特性非常重要，因此迫切需要运用分形理论准确地建立结合面的刚度公式。

建立结合面精确的结构动力学模型必须准确了解接触界面的动态特性。研究结合面的特性离不开经典的赫兹理论、G-W 和M-B分形模型的支撑。很多学者进行了结合面的分形研究，Nayak P R[ 提出了弹性和塑性接触的G-w 统计模型。文献[3-8]提出了机械加工表面具有自仿射分形特征M-B模型。文献[9-11]在M-B模型的基础上考虑了材料的弹塑性变形过程和接触界面摩擦的作用，建立了粗糙表面接触的弹性、弹塑性和塑性分形模型。很多研究都是从接触力学的角度来分析结合面的变形特性，并且在建立结合面的分形模型时开始考虑摩擦因素，但是并没有真正地从动力学的角度考虑摩擦因素的分形模型及摩擦的影响[1 。

笔者在前人研究的基础上，建立了考虑摩擦因素的结合面的分形模型，并研究了相关的几个因素对法向接触刚度的影响。

1 考虑摩擦因素的法向接触刚度的分形模型通常研究表面间接触模型的理论基础是赫兹理论、G-W 和M-B分形接触模型，而结合面的深入研究则是在纯粹的弹塑性变形的基础上进行的。实际工程结构表面都不是绝对光滑的，任意两个工程表面间的摩擦因素使得接触应力大邪分布与经典赫兹解不同，然而M-B分形接触模型恰泅略了结合面之间摩擦因素的影响；因此，有必要考虑摩擦因素影响并对赫兹接触模型做适当修改，推导考虑摩擦力影响的分形接触模型。

由赫兹接触模型可知，基于真实结合面积中弹性变形和塑性变形的结合面积大小，可以判定微凸体由弹性变形转化为塑性变形的临界变形量为， r， 、 2- f百7Ilkfly lR (1) /其中：K 为硬度日 与屈服强度 的相关系数，H-Ka ；E为赫兹分析得到的综合弹性模量。

国家自然科学基金资助项 目(51275O79)；新世纪优秀人才支持计划资助项 目(NCET-10-0301)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项 目(Nl10403009)收稿日期：2012-06-28；修改稿收到 日期：2012-09-10第2期 李小彭，等：考虑摩擦的结合面法向刚度分形模型及仿真 211法向力 I 切向力- - - ，：- --、 、：. ， - ， 、- 黏着圆半径c-：滑动圆半径 -摩擦力---·- 图1 两弹性体静态接触变形的截面根据赫兹接触理论可以知道真实接触半径为r - ( )l/3其中：Q为接触作用力；等效弹性模量 E-[(1-I， )IE (1-I)22)IE。]。；E 和E：分别为图1中两弹性体的弹性模量； 。和 。分别为两弹性体的泊松比；等效单峰曲率半径R-E1/R 1/R。]。；R 和R分别为两弹性体的曲率半径。

由M-B分形模型可知，变形前微凸体表面轮廓的数学模型为)-G。 c。s( ) (3)其中：n为实际结合面积。

微凸体顶端接触变形量为- G。- 口1- 5。 (4)根据式(3)可以求出微凸体的曲率半径为R - 口。·5。G1-D/7c (5)最大结合面积a 与接触点的面积分布 (口)满足以下关系7z(口)： D tl-0 5D 0 5 D a-l-O.5D (0< 口< 口 )(6)其中： 为分形区域扩展系数，与分形维数D有关，可以查表得到。

当微凸体发生弹性变形时，实际载荷 为： J口(口)-4n-- o.-5EGD -la-1.-s-o.SD口 n(a)Kayad口 (7)当结合面有相对滑动摩擦时，微凸体开始屈服的临界平均接触压力为如 图2所示，当摩擦系数介于0和0.3之间时，临界平均接触压力随着摩擦系数的增大而线性减校当摩擦系数介于0.3和0.9之间时，临界平均接触压力随着摩擦系数的增大而指数减校、 幽摇鲻删- 、 、 、 l 。 图2 摩擦系数对临界平均接触压力的影响将式(8)代入式(1)可以得到有摩擦影响时微凸体弹塑性临界变形量为- ( )。R-( ㈣将式(3)和式(4)代入式(9)，可以得到微凸体弹塑性变形的临界面积为- f兰二呈 1。 -。 Gz (1O) I- -J 根据结合面表面的微凸体面积分布规律，在考虑摩擦因素影响的前提下，当结合面积大于临界结合面积口 时，结合面发生弹性变形，此时根据式(6)和式(1O)可以推导出整个结合面的表面法向接触刚度的分形模型为r。-K -j。k.n(a)da-D丌 0.5。E(口 0.5 -n 5。)(1)式(11)的无量纲表达式为- 兀-0. ∞ ×(日。 。· - n。 。· D口二-。· D。· ) (12)式(12)表明，结合面的刚度与摩擦状态下的弹塑性临界变形面积有关。当获得表面的分形特征参数D，G和材料弹性模量E以后，可以估算结合面的表面接触刚度，提高了预估结合面实际接触刚度的准确程度。

： 8 2 结合面参数对法向接触刚度的影响其中：k 为摩擦力修正因子的分段函数。 。。 当O≤ ≤0.3时，k 为1-O.228；当0.3< ≤0.9时，k 为0.932e 。 。 。

根据式(12)，取G -1.36×10～，A-1，口 -0.000 1，分形维数DE 查表可得(D1.10，1.3O，振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷1.45，1.55，1.62，1.70，1.85)，再 得 到 ( -2.444，2.184，2.041，1.963，1.915，1.865，1.785)，数值仿真计算得无量纲法向接触刚度与实际接触面积、摩擦系数、方向载荷的关系如图3所示。

16Oo0趟旨 12 000曩8 00蜩1400000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0摩擦系数图3 法向刚度与摩擦系数的关系图3表明，结合面法向接触刚度随着结合面摩擦系数的增大而持续减校当摩擦系数小于0.3时，无量纲法向接触刚度随摩擦系数的增大呈线性衰减；当摩擦系数大于0.3时，无量纲法向接触刚度随摩擦系数的增大呈现指数衰减规律，随着实际接触面积的增大而迅速减校图4表明，D1.45时，结合面法向接触刚度K 随着实际接触面积A/ 的增大而增大。指定实际接触面积时，结合面摩擦系数 越大，结合面法向接触刚度K 越校趟基霜辎匠燃衄1图4 D-1.45时法向刚度与实际接触面积的关系曲线图5表明，当结合面摩擦因素不变时，结合面的法向接触刚度随着法向接触载荷的增加而增加。当法向接触载荷不变时，降低结合面之间的摩擦系数可以显著增加结合面之间的法向接触刚度。

为了更清楚地解释各个因素对法向刚度的影响，现在只让1个参数变化，观察其对结合面法向刚匠·叵燃删无量纲接触载荷图5 法向刚度与法向载荷的关系2度的变化趋势。图6(a)中指定分形维数D为变量，aL -0.1，口二-0.001；图6(b)中指定最大接触面积a rm 为变量，D-1.5，口二-0.01a& 。当指定临界接触面积与最大接触面积之比为变量，D-1.5，n -0.000 1，且比值小于1时，法向刚度随面积之比的增大而减小；当比值为 1时，刚度为零；当比值大于 1时，刚度为负值。

/ / // 分形维数D(a)分形维数i/ ， -- - - - - / · - - · - /2 4 6 8 10 12 l4最大接触面积 ×l(b)最大接触面积图6 参数对法向接触刚度的影响图6(a)表明结合面法向接触刚度随着分形维数D 的增大 而增 大，且有增 速愈来愈 快的趋势。

图6(b)表明结合面法向接触刚度随着最大接触面如 加 ：2 mO O O O O 0 甚墓辎厦燃翳蚓第 2期 李小彭，等：考虑摩擦的结合面法向刚度分形模型及仿真 213积n 的增加而增加，但是增速将放缓。

3 结 论1)建立了考虑摩擦系数的结合面的分形模型，讨论和分析了结合面法向刚度与法向载荷、实际接触面积和结合面摩擦因素及其表面分形维数的关系∩以看出，分形维数对法向接触刚度的影响显著，将导致不同分形维数之间接触刚度的大小相差几个数量级。当结合面接触面积较小时，结合面法向刚度受摩擦系数变化影响较校当结合面接触面积较大并且较粗糙时，结合面法向刚度随着摩擦系数的增大快速下降。

2)从宏观趋势得知，结合面法向刚度随着实际接触面积的不断扩大而增大。当最大接触面积小于临界接触面积时，结合面表面发生塑性变形，刚度将受宏观结构的影响。

3)从微观角度研究了结合面的接触刚度的表达及其影响因素，完善了推导结合面接触刚度的分形理论。