齿侧间隙对单级齿轮系统全局动力学的影响研究

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基于非线性动力学理论对齿轮系统进行建模和振动分析-直是研究的热点，齿轮系统已经成为间隙主导的参数振动系统的典型代表.近年来，国内外学者以齿轮啮合振动的基础模型为研究对象，对齿轮系统的非线性动力学行为进行了深人研究，取得了丰富的研究成果.1990年Kahraman[1]通过谐波平衡法和数值计算方法分析了含间隙齿轮扭转振动系统的频率响应特性，奠定了齿轮系统非线性动力学分析的理论和方法基础.Blankenship[2]研究了-类包含时变参数和非线性间隙函数的单自由度振动系统，并通过齿轮振动实验验证了理论和数值分析的结果.Albert Luo C J[3]基于非光滑映射理论研究了齿轮系统颤振和粘滞运动.Vaishya和Singh[4]用弗洛开理论分析含哥伦布摩擦力的齿轮参变系统的动力学响应.Joanna[5]分析了余维二分岔对齿轮系统的局部和全局动力学行为的影响.王建军[6深人研究了系统参数振动的主要特征.杨绍普[7]利用增量谐波平衡法研究系统的分岔特性以及阻尼比、外激励幅值对系统幅频特性的影响.陈思雨[8]对齿轮系统的冲击动力学和切分岔进行了理论和数值分析.苏程[9]研究了单级齿轮系统在参数变化时的频响规律。

本文结合系统的分岔图和吸引域，分析齿轮在齿侧间隙变化时的局部和全局动力学行为及其演变，为齿侧间隙的合理选择提供理论指导。

1 单自由度齿轮副扭转振动模型单自由度齿轮传动系统由-对相互啮合的齿轮副组成，两个齿轮通过轮齿交替啮合传递动力.啮合接触过程的动力学模型如图1所示.图中： ( 1，2)为两齿轮的扭转振动位移；J ( 1，2)为两齿轮的转动惯量；凡 ( 1，2)为两齿轮的基圆半径；ct为齿轮副的啮合阻尼；e为综合传递误差； (f)为齿轮时变啮合刚度。

图 1 单级传动齿轮系统的动力学模型Fig.1 Dynamic model ofsingle-stage system设 ( 1，2)为作用在主、被动齿轮上的转矩，为考虑啮合间隙时齿轮副啮合力对应的非线性函数，根据牛顿第二定律，得到系统的绝对转动方程：fJl 尺61 l ～ 岛-e(t))k(t)R6lI 民t -R。 -8)-l厶 c 62(兄 ～足2 -e(t)志( 尺H - -e)-T2收稿日期：2013-o3-ol基金项目：甘肃省自然科学基金(1212RJZAOTO)作者简介：陈代林(1986-)，男，甘肃兰州人，硕士生，主要研究方向为机械系统动力学.E-mail：chendailin###163.com132 兰 州 交 通 大 学 学 报 第 32卷齿轮在啮合过程中齿面接触变形导致系统产生相对运动.根据扭转振动的相对性原理[1引，引入齿轮啮合线上的相对位移坐标 z (尺 -R艟 -e).将式(1)中的两个方程相减并代入相对坐标，得到系统的相对扭转方程为4-Qx 4-点厂( )- A-F (2)其中：巩 (1112)/Il厶，F(f)：- ，F月(巩/衲)丁1(n/m2)丁2，mi为齿轮当量质量，珊 -/磁 G1，2)。

系统固有频率为 . ，令r- t，则无量纲啮合频率等于 - / .引入特征尺寸b ，则无量纲间隙D-b/bc.同时再令 - / ，足(r)-是(r)/(优 ：)， cg/(2m )，F埘- /(m )，(r)-F/ .将以上各式代人式(2)得到系统无量纲方程为4-2 忌(r)厂( )- R(r) (3)齿轮系统间隙函数，( )-般表示为- f -D， >D-。( )- 0， -D≤ ≤ D (4)zD， z<-D其中：D为无量纲间隙.对时变刚度和轮齿综合啮合误差函数项通过傅里叶变换，并只取-阶谐波，可表示为(r)- 1 4-cos(hr) (5)F - ；cos( r) (6)式中：时变啮合刚度幅值e- /k ；无量纲误差幅F e- e bc。

支，不同分岔分支的分岔形式、分岔点不相同，在间隙范围n j)1 0.7≤D≤ 1-1和d D 1 0.2≤D≤0.5)内，系统存在不同稳态解共存的情况，其中包括：周期与周期运动共存，周期与混沌运动共存等.为了进-步研究系统在多稳态解共存情况下的全局稳定性，以及不同分岔点附近稳态运动的演变和转迁规律，下面通过胞映射方法[1]计算系统的吸引域，分析系统的全局动力学特性。

D8全局多初值分岔图Db a图细节放大图2 齿轮系统随间隙变化的多初值分岔图晷2 Bifurcationdiagram of system viain ee2 齿轮系统的多初值分岔 3 随间隙变化的吸引域演化分析令： - ， ， [z ，-]T将式(3)化为 在相平面中，选择研究系统的位移和速度范围状态方程的形式：： X1 ] I. - - L-2 1-(1-oo )F埘 cos0A(7)定义系统的零相位面 为庞加莱截面： z∈R。×S I a2ht(mod(2n)))(8)选取无量纲参数的值为恒定扭矩 -o.1，综合传递误差波动憾 -O.3，时变刚度波动幅值e-0。

2，啮合间隙b-1.O，啮合阻尼 O.05.在-定初值范围内，随机选择 lOO个满足均匀分布的初值，计算得到系统随间隙参数D变化的多初值分岔图，如图2所示观察图2.a和图 2.b，发现系统有多个分岔分为( 1，X1)∈R。I-3≤X1≤3，-3≤立1≤3)(9)并将研究区域划分成 1 000 X 1 000个初值胞，计算系统在选择不同间隙值时对应的吸引域.下面首先计算区间n内系统的吸引域并进行分析。

图3为鞍结分岔点B附近，间隙D0.73时系统的吸引域.图中浅灰色区域是周期 1吸引子 a 的吸引域，黑色号为这个周期 1吸引子.图中黑色区域是周期 4吸引子 a。的吸引域，白色×号代表这个周期4吸引子，而白色区域代表陷胞，表示计算过程超出了研究范围(后同).图4为D0.77时系统的第 3期 陈代林等：齿侧间隙对单级齿轮系统全局动力学的影响研究 135