基于改进粒子群算法的最小二乘影响系数法的理论及实验研究

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Theory and tests for least square influence coeficient methodbased on an improved particle swarm optimization algorithmWANG Xing-xing ， Zhen-huan ，YANG Guo-an ，JIA Guang(1.Diagnosis and Self-recovery Engineering Research Center，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China；2.Colege of Information Science and Technology，Bering University of Chemical Technology，Bering 100029，China)Abstract： For the problem that the residual vibration of some measured points and the balancing weight werecomparatively larger in a rotor balance process with the least-square influence coefficient method，a particle swarmoptimization with cross-factors was introduced into the least-square influence coefficient method for rotor balancing。

Theoretical analysis showed that the improved algorithm has a good convergence and an ability of global searching；it canreduce the maximum balancing weight and the maximum residual vibration effectively，compared with the basic least-square infl uence coefficient method.Tests verified the correctness and feasibility of the proposed method。

Key words：rotor balancing；influence coefficient method；least square method；particle swarm optimization转子动平衡技术是解决转子不平衡的主要方法，在轴系动平衡中主要有影响系数法、振型平衡法和全息动平衡方法 J。影响系数法因原理简单，不需要了解转子系统的复杂信息，易于实现计算机辅助平衡等优点，在现场动平衡中得到很大应用。在实际应用过程中，测点数往往大于加重平面数，求解时出现矛盾方程组，因此提出了最小二乘影响系数法。但是，最小二乘影响系数法求得结果存在个别测点残余振动较大等问题，需要进-步优化 。

粒子群优化算法(PSO)是由Kennedy等 提出的- 种全局优化进化算法，其基本概念源于对鸟类捕食行为的模拟。基于遗传交叉因子的改进粒子群优化算法采用新的粒子学习策略，借鉴遗传算法中的选择交叉操作，通过交叉操作增加粒子多样性，充分利用群体基金项目：国家重点基础研究发展计划(973)(2012CB026004)收稿 日期：201l-05-23 修改稿收到日期：2012-05-31第-作者 王星星 男，硕士，1986年生通讯作者 杨国安 男，博士，教授 ，1963年生粒子的优良特性，跳出局部最优，同时加快收敛速度，具有良好优化性能和全局收敛性 。因此，提出了运用改进粒子群算法对影响系数法进行优化，以进-步提高动平衡精度和效率。

1 转子动平衡的最小二乘影响系数法1.1 影响系数法影响系数法是基于转子的线性特性为假设前提的，转子不平衡量与由于质量不平衡所引起的振动大小呈线性关系，用影响系数来表示。假设需要平衡的转子共有 个测点，Ⅳ个平衡面，K个平衡转速。转子在转速 09 下，第 m个测点的原始振动为 ，在第 n个平面加试重为 q 后，引起第 m个测点的振动值为 ，则影响系数为：a mn： (1) J在某-平衡转速下，假设原始振动大小为 Vo[ lo 20 30 m0] 。，求得配重质量为：Q[g1q2q q ] ，其中影响系数为：第 8期 王星星等 ：基于改进粒子群算法的最小二乘影响系数法的理论及实验研究 101A 0 l1 n 12O，21 0'22a In 0 2Ⅱ O，1n O，2n： ： 口M 根据影响系数法原理可知，理想情况下影响系数与不平衡质量和初始振动量的关系为：AQVo0 (2)对式(2)求解便可求得不平衡量。如果方程有解，则必须满足 MN，即加重平面数与测点数相等。但是在实际应用中，测点数往往大于加重平面数，此时方程数大于未知数个数，属于矛盾方程组，可以由最小二乘法求解。

1.2 最小二乘影响系数法最小二乘法(LSM)是-种数学优化技术，它通过最携误 差的平方 和寻找数据 的最 佳 函数 匹配。

Goodman提出将最小二乘法应用到影响系数法 中 j，原理是使得测各点的残余振动的平方和最携，从而求解配重质量 Q。根据最小二乘原理，此时方程组简化为：AQVo (3)其中：6为各测点的残余振动。

令 Js为 各 测 点 的 残余 振 动 的平 方 和：S M∑I 6 1 ，则要使S达到最小值，必须满足 o s0；化m l u n简之后用矩阵表示为 ATAQATVo0，其 中 是 A的共轭转置矩阵，求解该方程即可得出配重 Q。

但是由于最小二乘法是基于求解残余振动的平方和最小值，因此结果可能会出现个别测点残余振动较大，在实际应用中并不是最优解 ；或者出现个别的配重值较大，在实际配重安装过程中不好实现，不满足实际的要求。因此，将基于遗传交叉因子的改进粒子群优化算法应用到最小二乘影响系数法的优化中，以求得更加符合实际要求的配重质量解。

2 基于遗传交叉因子的粒子群算法2.1 粒子群优化算法PSO算法本质上就是-种基于群体和适应度的优化算法。粒子群中每-个粒子代表了方程组的-个潜在解，每个粒子用 3个参数来表征：位置、速度和适应度。粒子依据自身的历史最优位置 pBest和整个群体的最优位置 gBest来更新速度和位置，再计算出粒子的目标 函数值，以此作 为适 应度来衡量粒子 的优劣程度 。

设搜索空间为 D维，粒子群中粒子数为，。对于某个粒子 i，它的位置和速度分别为：X ( ，， ，， ) (4) ( ，， ，，vi。) (5)其 中：1 i J；1 d≤D。

每个粒子所经历解空间的最优位置为：P (P， P ，P国)，，群体中具有最优适应度的粒子的位置索引用 g表示，记为 P (P ，P ，，P 。)，粒子进行下-步运算迭代时，其速度和位置按以下公式进行更新： X c1 rl(P乞- 乞)C2r2(尸 - )(6)xi7 (7)其中： 为惯性权重系数，其大婿定了粒子对当前速度继承的多少；c 为粒子自身加速度权重系数，c：为全局加速度权重系数，通常取值为[0，2]之间；r。、r 是在区间[0，1]内均匀分布的随机数。

2.2 具有遗传交叉因子的改进粒子群优化算法基于遗传交叉因子的改进粒子群优化算法借鉴了遗传算法中的组合交叉和变异思想，通过采用交叉因子产生出代表新的解集的种群。在交叉因子法中，每次迭代选取适应度值较高的-半粒子直接进入下-代，同时用适应度好的前-半粒子的位置和速度矢量取代适应度较低的后-半粒子的相应矢量，而保持后者个体极值不变。在交叉机制中，后-半粒子作为待交叉因子两两随机组合配对，进行和遗传算法相同的交叉操作，产生子代，再和父代作比较，适应度值高的- 半再进入下-代。这样通过交叉即可以增加粒子多样性，跳出局部最优，还可以加快收敛速度 J。后代粒子的位置和速度矢量如下所示：child1( )parent1( )P(1.0-p)parent2( )(8)child2( )parent2( )P(1.0-p)parent1( )(9)其中： 是D维的位置向量；child ( )和parent ( )，k1，2分别指明是子代粒子还是父代粒子的位置；p是 D维均匀分布的随机数向量，而P的每个分量都分别在[0，1]计算 pBest和 gBest对粒子按适度值进行排序和交叉操作更新粒子的速度和位置 l- - - > 满足终止条件件 二 - 图 1 优化算法运算过程框架图Fig.1 Framework of optimization operation process振 动 与 冲 击 2013年第 32卷取值。

优化算法运算过程框架图如图 1所示：3 基于粒子群算法的最小二影响系数法设计按照粒子群算法步骤，进行算法的设计，令 X[ v]T[rt1 ，m1 ，，m ，m肌]T，表示待求解的配重质量。把配重质量限制在实际要求的范围[0，g。i ]内，将最小二乘法中的残余振动平方和大小作为适应度函数为：F( )∑ l (10)其中：6 A Q 。

建立基于粒子群算法的数学优化模型：F( ) l (1) m l 、 I l 10

4 实例分析本文采用文献[8]中的数据，平衡转子有 3个加重平面，4个振动测点，转子的影响系数矩阵如下所示 ：A 0.103 91.035 0i -0.069 91.188 4i -0.140 31.334 9i- O.162 00.707 8i -0.065 50.820 8i 0.087 90.8424i0.260 30.154 7i -0.226 8-0.017 9i -0.620 6-0.037 9i- 0.388 30.127 3i -0.148 3-0.009 1i 0.215 9-0.009 2i转子在各测点的初始振动如表 1所示：表1 初始振动(mnl/s)Tab.1 The initial vibration(mm/s)设定初始条件，粒子群规模大小 S30，维数 D6，权重系数 W0.729 8，权重系数均为 1.8，经过 100代的进化，并在有配重质量上限的条件下求解优化模型公式(11)。

假设各平衡面可以施加的配重质量上限分别为40、35、30、25，求解的配重质量和残余振动的结果如表2、表 3所示。

表2 限配重质量上限时配重计算结果(g)Tab.2 The weight result when limitng the max of weight(g)表3 限配重质量上限时残余振动计算结果(mnl/s)Tab.3 The residual vibration resultwhen limiting the max of weightmm/s)求解的最大配重质量与配重质量上限关系图以及最大残余振动与配重质量上限关系图如图2、图3所示：同时基于基本的最小二乘影响系数法对配重质量进行求解，计算结果如表 4、表5所示。

表4 最小二乘法配重计算结果(g)Tab.4 The weight result th LSM(g)表5 最小二乘法残余振动计算结果(nlln/s)Tab.5 The residual vibration result with LSM(nlm/s)为了验证粒子群算法改进前后的收敛特性，在配重质量上限限制为40的条件下进行了对比计算。改进前的粒子群算法与基于遗传交叉因子改进后的粒子群算法的迭代次数与适度函数值的关系曲线如图4所示：第 8期 王星星等 ：基于改进粒子群算法的最小二乘影响系数法的理论及实验研究 103配重质量上限图2 最大配重质量与配重质量上限关系Fig.2 The SuITe of the max balancingweight and the balancing weight up limit配重质量上限图3 最大残余振动与配重质量上限关系Fig.3 The curve of the max residualvibration and the balancing weight up limit由以上结果可以看出，限配重质量的粒子群优化算法与最小二乘法的计算结果相比，最大配重质量和测点最大残余振动都明显减小；由图2和图3可以看出，随着配重质量上限的减小，最大配重质量不断减小，但最大残余振动不断增大；由图4可以看出，改进的粒子群优化算法具有更好的收敛特性。同时本文限配重质量大小的粒子群算法优化后计算结果与文献[8]中基于遗传算法优化的结果相比，在限配重质量相同的情况下，最大配重质量和最大残余振动明显减校同时可见，过分降低配重的大猩能使残余振动增大，在-定范围内增大配重质量上限可以有效降低残余振动。因此根据实际情况调整配重质量上限大小进行求解，以取得适合实际要求的最优解。同时，由粒子群算法及动平衡有关理论可知，该算法可以提供多组满意解，这对于动平衡应用有非常实际的意义。

5 实验验证为了验证方法的可行性，本文基于 Bently转子实验台 RK4系统和 LMS测试系统进行了动平衡实验。

实验装置如图5所示，转子系统由-个加重平面和两个测点，测点数大于加重平面数。

由于转子试验台空转时轴承的振幅很小，因此在转盘半径为 30 mm的位置0。方向加上-个 2.15 g的不平衡重螺钉，以模拟初始不平衡。

图5 Benfly转子试验台Fig.5 Benfly rotor test g将转子转速升至3 600 r/min时的初始振动数据如表 6所示：j玺j-瓤2爨-舞，O l0 2O 3O 40 50 60 70 80 90 100迭代次数图4 迭代次数与适度函数值关系曲线Fig.4 The curve of the number of iterationsand the appropriate function value表 6 初始振动(nln/s JTab.6 The initialbration(min/s)同时在转盘半径为 30/Tim的位置 90。方向加上-个 2.15 g的试重螺钉，再次测得振动数据如表7所示：表7 加试重后振动(mmfs)Tab.7 The vibration with test weight(mln/s)通过白行编写的动平衡计算系统得该转子系统的影响系数为：r 7.122 5 1.935 1i 1L 16.971 24.898 5ij按照图 1的步骤，设定初始条件，粒子群规模大小S30，维数 D4，权重系数 W0.729 8，权重系数均为 1.8，配重质量上限为3，经过 100代的进化，计算的配重质量结果为：2.13 g 174。。

对比分析求得的配重结果与模拟初始不平衡的不平衡重，在误差和实际要求允许范围之内，大轩本相等，方向基本相反，验证了结果的正确性和方法的可行性6 结 论残余振动不平衡量是评价转子动平衡效果的-个重要标准，通过实例分析表明，经过基于遗传交叉因子的粒子群算法优化的最小二乘影响系数法能够在转子动平衡过程中使得最大残余振动更小，配重结果更加理想 ，能够达到更好的平衡效果。并且改进后的粒子群算法编码简单，收敛速度快，经过多次计算可以取得多组满足要求得结果。本文并通过实验证明了该方法的可行性 ，由于实验条件所限只在两个测点、单平面的情况下进行了验证，如果条件允许还应在更多平面和测点情况下进行验证。