面齿轮传动整个啮合过程相对法曲率干涉检验的方法

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Checking method of relative normal curvature interference duringentire meshing process of face-gear driveSHEN Yun-bo ，FANG Zong-de ，DING W en-qiang(1.AVIC Aviation Powerplant Research Institute，Zhuzhou 412002，China；2.School of Meehanical and Electronica1 Engineering，North-west Polytechnical University，xian 710072，China)Abstract：Proper meshing of two tooth surfaces with each other could be realized only when there was nocurvature interference at their contacting points.Therefore，an inspection method was proposed for chec-king relative normal curvature interference of extrema curve during entire engagement process of face geardrive.A physical model was set up for checking the curvature interference of two substantial curved sur-faces.Based on Euler and Bertrand equations。a mathematical analytical expression of relative norma1 cur-vature was derived for face gear drive and the extremum of the relative normal curvature was found and theextremum range of relative normal curvature was analyzed when there was no curvature interference of tWOcurved surfaces with each other at their contacting points.The tooth surface equation of the face gear pairwas set up and，according to the meshing theory，the principal curvatures and principal direction of thetooth surfaces of the generated gear were derived from those of the shaper.The meshing traces on toothsurface of face gear and extrema value of relative normal curvature at al meshing location were obtained bymeans of computer simulation and the situation of curvature interference at meshing point of the face geardrive was analyzed，also。

Key words：face gear；relative normal curvature；induced normal curvature；interference inspection相对法曲率是指在接触点处沿指定的切线方向两共轭曲面贴进的程度，对齿轮传动的润滑条件、接触强度和接触区的大小都有重要的影响[1引.在两齿面啮合点处沿任意方向的相对法曲率的值域，通常收稿日期：基金项目：作者简介：2Ol2-l1-O6国家自然科学基金(50875211)，陕西省 自然科学基金(2012JM7003)，陕西侍育厅基金(2OLOJK582)沈云波(1970-)，男，山东滨州人，博士，副教授。

作为判断两接触齿面是否发生曲率干涉或被切共轭齿面是否发生根切的理论依据[]。

面齿轮传动是圆柱齿轮与-环形齿轮构成的角度传动，是直升机主减速器分扭结构中起主要作用的传力部件，有着比较广阔的应用前景.特别是直齿面齿轮传动由于圆柱齿轮可轴向浮动、没有轴向力、支承结构简单等优点已逐渐成为工程应用研究的主· 26· 兰 州 理 工 大 学 学 报 第 39卷要方向，。 引.面齿轮副的两齿面都是具有实体的曲面，由于面齿轮齿面结构的复杂性以及啮合传动过程要求的连续性，要求两齿面在啮合点处必须无曲率干涉才能实现正确啮合[6-8].本文运用各啮合点的相对法曲率极值曲线的方法，对两齿面整个啮合过程是否发生曲率干涉的情况进行分析，得出面齿轮副整个啮合过程无曲率干涉的条件。

1 曲面干涉检验判据由微分几何与齿轮啮合原理知道，两曲面在切点沿同-方向的法曲率之差为沿该方向的相对法曲率，也称诱导法曲率，记为kmz.设k 、knz分别是曲面 1、2在同-相切点沿任意方向的法曲率l1].有k 12-k l- kI12 (1)设三 与 。在相切点P处的公法矢n的方向是由 的实体指向空域，t为过点P沿任意方向的单位切矢，过t与n作两曲面的法截面分别与 、 z相交，其交线记为 叩 和 叩z.则 三 、 在啮合点 P处沿任意方向的相对法曲率k 有图1所示几种情况[1 J，m 、mz分别为曲线 叩 和 叩2的主法矢。

涉 (b)凹向相反有曲率干涉(c)凹向相同 JJk. J曲率干涉图l 两曲面的接触情形Fig.1 Contact tangs of two curved surfaces由微分几何的基本知识可知，如果表示法截线叩 、 的主法矢m 和 m。与公法矢 n的方向相反，则其对应的法曲率为负值，反之为正。

1)图 la 和 凹向相反，实体不发生干涉，即无曲率干涉.在图示情况下，对于法截线 ，n与主法矢m 反向，kmO.因此 k 12

2)图 lb 和 凹向相反，但实体与图 1a不同，因此有 志nl>0，kI2<0，k 2>0，必发生曲率干涉。

3)图lc功和 凹向相同，此时，k 1<0，是l12<0，若l k 1 I>I knz l，则 k 12<0，实体不发生干涉.反之，若l km I

4)图ld 和 凹向相同，这种情况下，k 1>0，kn2>0，若I k I>l kfl2 I，则 k l2>0，实体发生干涉.反之，若I k l

因此，不难得出，在过啮合点沿任意方向的法截面上，两齿面在啮合点处是否发生曲率干涉，完全取决于沿该方向的相对法曲率 志 tz的值域；当k zO时，则会发生曲率干涉。

2 两曲面问的相对法曲率设从动齿轮 2曲面的主曲率表示为k k ，与其相对应的主方向为 e 、e .由欧拉(Eurler)公式可得任意方向的法曲率为[kn2- H G COS 28 (2)式中：H -k。k ，G2 -k -k ， 为任意方向的矢量与 e。的夹角.同理，不妨设主动齿轮 1曲面的主曲率为是r、 ，与其相对应的主方向分别是 ef、eh。

在有向角为 的任意-方向上的法曲率为壶 1-H G COS 2 (3)式中：Hn -是f ，G -kf-是h。

设两齿轮曲面在P点相切，则在过点P的公切平面上两齿面的投影如图2所示.对于曲面 ，与主方向ef的有向角为 的任意方向上的法曲率由式(3)给出，则在同-方向上，三。的法曲率可表示为kn2-H。 G COS 2(9 - 。 ) (4)式中：盯 为 的主方向与三z的主方向之间的有向角，方向从 er到 e。.则两曲面相对法曲率为k 12 - kn2-H - H。 (G -G COS 20 )cos 2 -G。sin 2%.sin 20 (5)图2 两曲面的主方向在公切平面上的投影Fig.2 Projection ofprincipal direction oftwo surfacesoncolfllmon tangent plane根据啮合原理，对于曲面 ，和 相切于接触点 P，沿任意切线方向相对法曲率的最大值和最小第 1期 沈云波等：面齿轮传动整个啮合过程相对法曲率干涉检验的方法值，称为该点的相对主曲率，记为 是 、志 z.相对主曲率所对应的方向为相对主方向，记为 e z、P： .由式(3)知，相对法曲率是有向角 的连续周期函数，故相对法曲率的极值及其所对应的主方向可用求极值的方法确定.因此有- - 2(G -G(2cos 2a(12)sin 2u - 2G。COS 2 sin 2a( (6)若两个主方向分别以 、纰 表示，则 由式(6)可得到主方向仇 为tan 2 1--G。sin 2a 。I(G -G。COS 2a 。 )(7)另-主方向 与 垂直，即 1 90。 (8)将式(7，8)分别代人式(5)，可得相对法曲率的两个极值 志 z、走： z.根据以上过程编制计算机程序，求得每个啮合点处相对法曲率的两个极值及其所对应的主方向.如果两个极值 z、碥z均为负值，说明在啮合点处无曲率干涉；反之，则可能存在曲率干涉的问题。

3 面齿轮传动的主曲率和主方向面齿轮的齿面是模拟圆柱齿轮与面齿轮的啮合原理，由齿廓为渐开线的插齿刀齿面包络而成.如果记插齿刀的齿面为 。，齿面方程与法矢为l1o]rs(us，ls)- [ (。，ls) ( ，ls) ( 。，ls) 1](9)，l。(Us)- × (10)tJUs tJ Ls则由 。包络的面齿轮齿面 z的方程为[1叩，2( s)-M2s( s)，s( s (11)-厂2。( ，l。， 。)-0式中： ( ， ， )-0是展成运动过程中的啮合方程，M2。(声 )是-齐次变换矩阵， 。是展成过程中齿轮插刀的转角.将式(9)和式(10)各量的下角标S”改写成1”，即可得到直齿圆柱齿轮的齿面三 的方程及单位法矢。

根据齿轮啮合理论，面齿轮 。的主曲率、主方向可由三。的主曲率、主方向确定。

由微分几何可知，插齿刀齿面 。的第-基本二次型有fE。-(3r。lao )·(ar。/ao。).《F。-(3r。/a 。)·(3r/31 ) (12)Gs-(3r。/az。)·(ar。/az。)第二基本二次型有。-n。·(a r。/a )Ms-，l。·[a ，.。/(aOaz。)] (13)Ns-n ·(a。r。/az )则齿面 。的-个主曲率及相应的主方向为- 薏/ (14)； -L。/E。

将式(14～17)中的下标或上标中的s”换为1”，则可得到圆柱齿轮齿面 ∑ 的两个主曲率及相应的主方向。

面齿轮展成过程中， 与 。为线接触.根据啮合原理中线接触两曲面基本量之间的关系，当已知齿面 ∮触线上的点P处的主曲率志； 、忌 及其相应的主方向e；”、P 时，可以导出齿面 上同-接触线的P点处的主曲率尼； 、走 及相应主方向 、P舒 ，以及两主方向P 和P 二者的有向夹角 ，有tan 2cr( - (16) l走 ，志iz，-志 is)- 羔三 堕- 茹 (18COS sin ， lP ： s2ei s2a13--是。 s2-0口s2·(，l×e ) (19)a23- -是 - ∞ ·(，l×P ) (20)口3--是；。( )。志 ( ) -n·(to s2 ×，(s2 )- n·(∞。×v )n·(∞。 x'，擘 ) (21)l， ·P (22)-y(s2)·e (23)式中：n为展成过程中两齿面接触点的公法矢， 为两齿面上接触点处的相对速度矢量，∞。 和∞ 分别为齿轮插刀 s和齿轮 2的角速度矢量，∞ 是两齿轮间的相对角速度矢量，'， ( -S，2)表示接触点随齿面运动的牵连速度矢量。

4 算例对面齿轮传动整个啮合过程的曲率干涉情况跟踪分析.面齿轮副的设计参数如下：插齿刀和圆柱齿轮的模数 m为 4.0 mm，压力角 a为 25。，插齿刀齿· 28· 兰 州 理 工 大 学 学 报 第 39卷数 N。取 25个齿，圆柱齿轮齿数 N，取 22个齿，面齿轮齿数 Nz取 86个齿，圆柱齿轮和面齿轮的轴夹角y为 85。.经计算面齿轮的内半径 Ru-159 mm，外半径Rl2-193 mm，即面齿轮的齿宽为 34 mm。

两齿轮连续啮合传动，则在任何时刻，两轮齿既不嵌入也不分离.因此，两齿面 和三z在固定坐标系Sr中相切，齿面的位置矢量和齿面法向矢量应分别相等.有，(1，l1， 1)-rf2)(z。， 。， ， 2)-0 (24)，l (1， 1， 1)-，l。(。，Z。， 。， )-0 (25)由于I，l”l，l I，式(24，25)只得到5个相互独立的变量，同时考虑啮合方程 。(。， 。， 。)-0，并令 作为输人变量，可解得所有 6个参变量l( )， 1( )，Us( )，ls( )， 。( )， ( ))∈ Cl(26)式中：C 表示以 为自变量函数的-阶连续。

将求解的变量代人式(11)，可仿真出面齿轮在旋转投影面上的接触盂，如图3所示.图中横坐标表示与面齿轮回转中心的距离，纵坐标表示齿高方向.按照以上步骤编写计算机程序，得到啮合点处的两个主曲率，见表 1和图 4。

160 l65 l 70 l75 l8O l 85 l9O齿长方向 ram图3 面齿轮齿面啮合盂F唔 3 Meshing traces on tooth surface of face gear表 1 啮合位置的相对法曲率Tab.1 Relative normal curvature at meshing position啮合 相对法 相对法 啮合 相对法 相对法位置 曲率 1 曲率 2 位置 曲率 1 . 曲率 2l - O.000 733 -O.20l 721 7 -O.000 710 -0.115 6022 -0.000 730 -O.177 895 8 -O.000 705 -O.108 8823 - O.000 727 - O.159 523 9 - 0.000 699 - O.103 1904 -0.000 723 -0.144 986 10 -0.000 694 -O.098 3485 -0.000 719 -0.133 244 11 -0.000 687 -O.094 2136 -O.000 715 -0.123 613 12 -O.000 681 -O.090 668根据表 1绘制了啮合点处相对法曲率极值曲线图4.由表 1和图4看出，两齿面 和 z啮合，在齿面上有12个啮合位置，在每个啮合位置相对法曲率都有两个极值点，也就是在齿面 上与该相切点的主方向e；”成有向角为 的任意方向上的相对法曲率都在这两个极值点之内.其中最大相对法曲率在0附近，最小相对法曲率皆为负值.因此，根据两齿面啮合是否发生曲率干涉的判别原则，两齿面啮合在所有的啮合位置均不发生曲率干涉.对于考虑边缘接触的情况，本文也用同样的方法进行了研究，可以得出与上述相同的结论。

啮合位置图 4 啮合点处相对法曲率 1、2的极值曲线Fig.4 Extremais of relative normal awvatures one andtwo atmeshing points5 结论建立了曲面的相对法曲率进行曲面接触干涉检验的物理模型，给出了在接触点不发生曲率干涉的相对法曲率的极值范围.建立了两曲面接触点的相对法曲率的数学模型，通过数学方法确定了相对主曲率的极值.由齿轮插刀齿面的第-和第二基本二次型确定了插刀齿面的主曲率和主方向.根据啮合原理，由齿轮插刀的主曲率及主方向导出了面齿轮齿面的主曲率及主方向.编写了计算机程序，得到了面齿轮齿面啮合盂和整个啮合过程相对法曲率的极值曲线，由此判断面齿轮传动在整个啮合过程中没有发生曲率干涉。