一种等几何形状优化的网格更新方法

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

结 构形 状优 化 旨在通 过修 改结 构 内外 边 界几何 形状 ，改 善结 构特 性 (如降低 应 力集 中 、提高 刚度 、减 轻结构质 量 )，主要包 括 三步 ：参数 化几 何模 型 的建 立 ；结 构响应 分 析和灵 敏度 计算 ；优 化算法 的 实现 。在 优 化过 程中 ，用 于 描述 结构 几何形 状 的参数 作 为设 计变 量 ，结 构质量 与 响应 (如应 力 、柔 顺 度 、频 率等 )作 为 目标 函数 和约 束 。

传 统 的形 状 优 化 方 法 采 用 计 算 机 辅 助 几 何 设 计(CAD)进 行 几何 建 模 ，即利 用 Bezier、B样 条 或 非 均 匀有 理 B样 条 (NURBS)参 数 化描 述 。 由于 CAD模 型 无法 直 接 用 于 有 限元 分 析 (FEA)，需 要 划 分 有 限元 网格后 进 行 分 析 和 优 化 [1]，几 何 模 型 (CAD)和 分 析 模 型(FEA)相 互 孤 立 。如 图 1(a)所 示 。

IGA方法 将 NURBS基 函数 不 仅 用 于参 数化 几 何建 模 ，而 且 用 于 力 学 场 计 算 [2J，实 现 了 几 何 模 型(CAD)、分 析模 型 (IGA)和 优 化模 型 的无缝 连 接 ，如 图1(b)所示 。 由于 CAD模 型直 接用 于 等几 何分 析 ，几何形状 的精 确表 示使 分 析 精度 提 高 。 目前 ，基 于 IGA 的形状 优化 已被 成功 应用 于平 面线 弹性 问题 [ ]、三 维线弹性 问题 l6]、梁 结 构[73和振动 腔 问题 。基 于 T样 条 和Coons曲 面 的几何 参 数 化方 法也 被 应 用 于等 几 何 形 状优 化 中 ]。

然 而 .优 化 迭 代 过程 中 NURBS控 制 点 的大 幅变收稿 日期：2012年 11月化 ，时 常使 相邻 控制 点距 离过 近或 过 远 ，甚 至 出现 网格重 叠 畸形 ，需要 在迭 代过 程 中进 行 网格更 新 。文 献 [3]采用 内部 控制 点 的位置 与边 界控 制 点 的位置 成 固定 比例 的方 法 控制 网格 ，这种 方法 虽然 简 单但 缺乏 通 用性 。

文献 [9]采 用虚 拟位 移载 荷法 ，把 边界 控 制点 的 变化 量作为 -个 弹性 辅 助系统 的位 移边 界 载荷 处理 ，通过 求解相 应 的线性 方程 组得 到 内部控 制 点 的变化 量 。方 法较为 通用 ，但 是 每次迭 代之 后相 当于要 额外 进 行- 次有 限元 分析 ，效率 较低 。

本 文借鉴 文 献 [11]空气 动力 学 中 的网格 调 整策略 。采 用 基 于 NURBS控 制 点 间距 的 网格更 新 方 法 ，进行 IGA形 状 优化 。首先 简要 介 绍 IGA方 法 、相 应 的形状 优化 模 型 ，然后 建 立 网格 更 新方 法 ，最后 给 出平 面 线弹性形 状优 化算 例 。

1 IGA等几何分析方法对 于平 面线 弹 性 问题 的 IGA离 散形 式 为 ：ll-l2。

[2] Sang-Won Cho，Hyung-Jo Jung，In-Won Lee.Smart PassiveSystem Based on Magnetorheological Damper[J 1.SmartMater，2005(14)：707-714。

[3] 张力.模态分析与实验[M].北京：清华大学出版社，2011。

[4] 许本文，焦群英.机械振动与模态分析基础[M].北京：机械2013/4工业 出版社 .1998。

[6] 王文斌 ，林忠钦.机械设计手册(新版第 1卷)[M].北京：机械工业出版社，2004. △(编辑 小 前)机械制造51卷第s84 a蠢KnFJ nBTDBd (，1) 疗 ，FJnRy ，Rfar式 中 ：KuF 为 IGA离 散 的平 衡 方程 ； 为 弹性体 几 何域 ；， 为 面力 边界 ； 为 总 刚度 矩 阵 ；F 为 总 载荷 向量 ；U为节 点 位 移 向量 为 体力 载 荷 向量 为 面力 载荷向量 为弹性矩阵； [ 0/ ]；屁为基函数 LJ d，dv dv矩阵 ，R 。。

。：-RN 0 ]0 R0 R 0R l 2，，上 述基 函数 R可 由双变 量 NURBS基 函 数构 造 得至U：Rij( 07)： - (2)∑∑Nk ( ) (n)oJ式 中 ： 、叼为 NURBS节 点参 数 ；p、q为 基 函数 阶数 ；n、rt为基 函数个 数 ； 为权 值 。

类似 于 有 限元分 析 ，总 刚度 矩阵 和 总体 载荷 向量可 以由单 元 刚度矩 阵 和单 元载 荷 向量组 装 而成 。 由此可见 ，等 几何 分析 得 到 的离散 方程 ，形 式 上与有 限元 分析 相 同 ：NURBS控 制 点 对 应 有 限 元 分 析 中 的 节 点 ，NURBS物 理 空 间 网 格 对 应 有 限 元 分 析 中 的 网 格 ，NURBS控 制点 上 的位 移 对 应 有 限 元 分 析 中 的节 点 位移 等 。

2 基于等几何分析的形状优化2.1 形 状 优 化 模 型形 状 优化 就是 通 过改 变连 续体 结构 内外边 界 形状以改 善结 构 特 性 (如 减 轻 结构 质 量 、降低 应 力 集 中等 )的-种 优 化过 程 。基 于 IGA的形 状优 化 问题 -般 可 以描 述为 ：n fix，lf( )]、，，) √ ，2，，Ⅳc (3)K(x)口( ) )≤ 雹 ≤，扛 1，2 .，ND式 中 ： 为 与 边 界 NURBS控 制点 相 关 的 设计 变 量 ；ND为 设 计 变 量 个 数 ；厂和 岛分 别 为 目标 函 数 和 约 束 ；NC为 不等 式 约束个 数 。

2.2 网iS-更 新 方 法基 于 IGA 的形 状 优 化 在迭 代 过 程 中 ，常会 出现 设计 变量 的大 变形 。如 图 2(a)，优 化 迭代 之前 NURBS控制 网格 中控 制点 P在 y 的正 方 向有 大 变形 ，那 么迭 代之后 可 能会 出现 网格 重叠 [如 图 2(b)]。这 样变 形 之后的网格 是 畸形 网格 ，无 法继续 进 行分 析 。为 保证 网格 的机械制造51卷 第584期协调 性 ，采 用 -种 基于 控制 点 间距 的 网格 更新 方法 。

考 虑 四分 之- 厚 壁 圆 筒截 面 的 NURBS控 制 点 网格 ，如 图 3所示 。选择 实心 圆代 表 的控制 点作 为设 计 变量 ，仅 限制 其在 虚线 (边 界法 向 )的方 向上 扰动 。为方便说 明 ，将 图中所 示 控 制 网格 中的 虚线 上 -列 ”提 取 出来 说 明 。P0，PI.， 为 m1个 控制 点 的位置 ，其 中 ，P0为 边 界 设 计 变 量 控 制 点 (VariableControl Point)，Pm为 固 定 控 制 点(Fix ControlPoint)，其 余 为 连接 控制 点 (LinkedControl Point)。

△尸0，△ .，△尸m为 对 应 的控 制 点变 形 量 .didist( ， -1)(1≤i≤m)为相邻两控制点之间的距离。令d-∑ ，建立如 1下 关 系 ：△ -l-△ - △ ) (1≤ ≤m) (4)u lm 故有 ：APo-△ ：∑从 而 ：i∑(△ -△ ) △P0 (5)- ∑西△ -- L-△P0 (6)ttsumi令Ci(d--∑ ) ～，则得到内部各控制点变形 l量与边界控制点变取量 △只之间的线性关系 ：△ CiAPo(1≤i≤m) (7)下 面给 出式 (7)的 3条 性质 ：性 质 1：当 im 时 ，△Pm Po：0，这 与 为 固定2013/4 回控制 点相 符 。

性 质 2：若 △ 。c △Po，△ CAPo，则有 △ 1△ l。 当 i2>il时 ， API2，说 明 ：距 离 边界 可 变控 制 点 P0越 近 的点 ，变 形 量越 大 ；距 离 P0越 远的 点 ，变 形 量 越 小 。

性 质 3：当 i2>il时 ， 2> 1，考 察 扰 动 后 两 点。△ ， △ 的位 置关 系 ，有 ：( 2△ 2)-( l△ 1)f2 il ( ∑ c ：△P0)-(尸l0∑djc △P0) 1 J li2 i21 1 (c -c -)APe- 西(1-△ -)l卢d 又 △P00即 PI2AP，>△ 。也 就是 任 意两 控 制点 在 网格更 新 之 后 ，都 保持 变形前 的 拓扑关 系 .不会 出现 网格 重叠 现象 。

3 数值算例基 于上 述 的网格 更新方 法 ，下 面给 出等 几何 形状优 化 的 数 值 算 例 。优 化 算 法 采 用 移 动 渐 近 线 算 法(MMA) ]。收敛 准则 为 ：2013/4占：l - )/fo1≤106 (8)式 中 为第 i次 迭代 之后 的 目标 值 为 目标初 始值 。

本文 中控 制点 权值 在优 化过 程 中保持 不变 〖虑平板 应力 集 中问题 ，由于对 称性 ，仅考 虑 四分之 - 带孔平 板 。问 题 初 始 模 型 定 义 如 图 4所 示 ，板 两 边 受 均 布 拉 力 ，杨 氏模 量 为 210 GPa，泊 松 比为 0.3，平 板厚 度 为 1mill。 在 体 分 比 99% 的 约 束 下 ， 优 化 目标 为 最 大 von-Mises应 力 最 小 。初 始 形 状 下 vorl-Mises应 力 云 图 如 图5(a)所 示 ，优 化 后 形 状 和 von-Mises应 力 云 图 如 图 5(b)所 示 。初 始最 大 von-Mises应力 为 27.245 2 MPa，优 化后 为 15.744 2 MPa，应力 集 中明 显降低 。

4 结论与展望等几 何 分 析 通 过 NURBS将 CAD、FEA 和 结 构 形状优化 结 合起来 ，省 去 了繁琐 的模 型转 换 ，拥 有 诸 多优点 ，有 着极 大 的发展 前景 。此 外 ，等几 何分 析对 于 解决- 些 高 阶问题 (如板 壳 问题 )具有 独特 的优 势 。本 文 采用 - 种 基 于 NURBS控 制 点 间 距 的 网格 更 新 方 法 ，成功应 用 于等 几何形 状 优化 。数 值算 例表 明 ，此方法 简 单有效 .下 - 步将结 合此 方法 进行 三维 的 等几何 形 状 优化 研究 .并进 - 步尝 试等几 何 形状 优化 在板 壳 问题 中的 应 用 。