基于动力学模型的快速反射镜设计

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现代激光技术对激光光束瞄准精度的要求越来越高 ，已达到了微弧度和亚微弧度量级 。如何实现空间激光的高精度、高带宽精确调整和指向，已然成为该领域的研究热点]§速反射镜系统(Fast Steering Mirror system，FSM)是在激光光源与接收端之问进行光束调整的装置 ，它广泛应用于激光光束稳定与控制系统中，具有体积孝质量轻、结构 紧凑、速度快、精度高、带宽高等优点 2 ]。目前，由于 FSM 的工作行程普遍较小，所以FSM通常与大行程框架机构-起构成粗精两级光束稳定与控制系统。这种系统可实现大行程角、高精度 、快速响应 的指向和稳定功能 ，广泛应用于空间光通信、像移补偿、精确跟踪瞄准等领域 。

按照传统的机电系统设计方法设计 FSM，-般首先设 计其 机械部分 ，然后 再设计 其控 制系统E 561。该方法只有在机械和控制系统设计完成后才能对 FSM 性能进行评估，-旦其性能不能达到指标要求，则需对设计方案进行修改，由此不仅降低了产品生产效率，还增大了设计成本[7]。

为改善这-状况 ，实现 FSM 的性 能预测与快速设计 ，本文依照基于模型设计 (Model～Based De-sign，MBD)的思想 ]，提出了-种基于动力学模型的 FSM 设计方法。该 方法首先建立 FSM 动力学模型，之后基于该模型对 FSM 进行参数设计，并进行性能仿真分析，以保证 FSM 在总体设计阶段设计的各参数均满足系统的性能要求。最后对利用该方法设计的 FSM 试验样机进行 了性能测试，测试结果与模型仿真结果基本-致。该方法优化了 FSM设计流程，提高了 FSM 设计效率 。

2 FSM 结构 与运动原理FSM两轴四驱动结构较之于两轴两驱动和两轴三驱动结构，具有稳定性强，高频运动耦合低，两轴运动控制无需座标变换等优点，因而本文设计的 FSM 选 择两轴四驱动结构 9]，如图 1所示。FSM 的基座上轴向对称安装有 4个相同型号的音圈电机，音圈电机通过螺钉与反射镜固连 ；反射镜通过止 口与二 自由度柔性支承固连；二 自由度柔性支承通过另-端的止口与基座 固连 。

图 1 二 自由度 FSM 结构Fig.1 Structure of two DOF FSM柔性支承结构如 图 2所示 ，柔性 支撑 的下环固定在底座上 ，柔性铰链 1和 3与下环连接并通过中环与柔性铰链 2和 4连接，柔性铰链 2和 4通过上环与反射镜连接 。柔性支承实现二 自由度运动的原理为 ：4个柔性铰链具有相 同的结构尺寸和刚度，在 Z方 向共同支承反射镜 ，铰链 1和 3在音圈电机驱动力的作用下可绕 x轴柔顺转动，铰链 2和 4在音圈电机驱动力的作用下可绕 y轴方向柔顺转动，其他方向的自由度则被结构所限制，从而实现了反射镜绕 X、y轴转动的自由度。

柔性铰链1柔性铰链2图 2 柔性支撑结构Fig.2 Structure of flexible support3 FSM 建模3.1 FSM 系统理想模型在两轴四驱动结构中，假设其 X、y轴的特性相同，且不考虑轴间耦合 ，则 FSM 可简化为两个相同的单轴理想模型，如图 3所示 。以绕 X轴转第1期 黑 沫，等：基于动力学模型的快速反射镜设计-， J / / l --÷- Il l /申 l J- ， -I- - l图 3 FSM 单轴理想模型Fig.3 Ideal model of FSM in single axis z动为例 ，设 M 为 X 轴方向施加 的力矩 ，，为反射镜和柔性支承转动部分的转动惯量， 为反射镜的偏转角，K 为柔性支承X 轴扭转刚度，C为柔性支承与音圈电机的等效阻尼系数，m 为音圈电机动子质量，z为音圈电机力作用点到反射镜转轴的距离 ，z为音圈电机 的轴 向位移 ，则 FSM 单轴模型的力矩平衡方程可表示为：M - ( 2m Z ) 十 2d K . (1)进-步对两个音圈电机进行建模 。令 为音圈电机的工作电压，i为音圈电机的工作电流，L为电机线圈的电感；R为电机线圈的内阻，K 为电机力矩系数 ，K 为电机反电动势系数，C 为除电机反电动势外的其它等效阻尼，Fk-kx为音圈电机所受的弹性力，则音圈电机的力平衡方程可表示为 ：f( )三(c )二kz-kf -L K 二(2)在 FSM 中，偏转角 -般较小 ，可近似认为tan ≈ ，由图 3所示结构可知：rz - lOI K - 2klM - 2K il . (3)- (c )z二联立式(1)～(3)，可得系统的传递函数 G(s)为：G )-怒 - 2 lKf 。

利用该模型即可在 FSM 机械系统制作完成后 ，通过试验对 G (s)中的未知参数进 行辨识 ，然后利用 SISO系统控制器设计工具完成 FsM控制器的设计。

3.2 带有高阶谐振的 FSM 模型实际的FSM较理想模型复杂得多，通常存在着多个谐振频率2 ，如图4所示。为了准确描述FSM的幅频特性，需对 FSM的高阶谐振进-步建模。

对于本文所述的 FSM 结构，由于其 自由度方向刚度远低于非 自由度方 向刚度 ，因而其低 阶谐振主要由自由度方向刚度决定；另外，由于存在加工装配误差、寄生效应等因素，FSM 高阶谐振主要由非自由度方向对 自由度方向的运动耦合造成。综上可知，系统低阶谐振的成因较为简单，谐振频率可由式(4)计算得出，振型为绕 X、y轴的转动。对于系统高 阶谐振 ，由 FSM 的有限元模 型可知 ，限制 FSM带宽提高的高阶谐振振型主要为绕 Z轴的转动和沿Z轴的拉伸 4 。由于FSM非自由度∞ 等量兰暑a0 (4)Log frequency图 4 FSM 频域特性示意 图Fig.4 Frequency response of FSM图5 加入高阶谐振的FSM模型Fig.5 High-order resonance model of FSM方向对自由度方向的耦合运动受较多非线性及不确定因素的影响，使得高阶谐振成因较为复杂，难光学 精密工程 第21卷于准确建立其定量理论模 型。因为 FSM 运 动范围较小 ，为简化分析 ，将该耦合简化为-线性增益系数 K 。参照 3.1节中方法，令K 为柔性支承z轴的扭转刚度，K 为柔性支承 Z轴的拉伸刚度，K 为 Z轴扭转和拉伸在 自由度方向上的耦合增益系数，则可得到系统加入高阶谐振的模型如图5所示。其中，G ( )如式(4)所示，G (s)如式(5)所示，K 根据测试经验暂取 0.1(-20 dB)。

cRLs (sz s )K K 为满足系统带宽的要求，如将 FSM的低阶谐振频率设计为带宽的2～3倍，势必将增大 K 值，由式(1)可知 M 值也会随之增大 ，从 而增大驱动电机的尺寸和功率 ，增 加结构设计 的难度和成本 。由于FSM低阶谐振成 因明确 ，谐振频率变化范围小，谐振增益不高 ，如果在满足强度、疲劳、转角范围和结构尺寸要求的前提下，降低柔顺支撑自由度方向上的刚度，同时提高非 自由度方向上的刚度 ，使系统低阶谐振频率降低，高阶谐振频率增大；之后利用图5所示模型设计适宜的超前滞后控制器、陷波器和低通滤波器以抑制低阶谐振，减小高阶谐振及噪声等对系统的影响，即可令 FSM具有较高闭环带宽的同时，有较低的自由度方向刚度，从而减小系统的结构设计难度 ，降低功耗和成本 。

3.3 带有轴间耦合的 FSM 模型对于轴间耦合问题，可将本文设计的 FSM 视作-个双输入双输出系统，如图 8所示。其 中，U ( )，U (s)分 别为 X，y轴 的输 入 电压 ， (S)，(s)分别为 X，y轴的输出转角 ，则可知 ：- G-G ][U ]， (6)L J L G J -广G G ]令G-1 ，、 I，为FSM的传递函数矩阵。

厂 ]斗 图 6 FSM 耦合模型Fig.6 Coupling model of FSM(5)两轴 FSM产生轴间耦合的原因主要有：(1)制造误差引起的柔性支承结构两旋转轴线不垂直；(2)每对音圈 电机安装位置连线与柔性支承旋转轴线不垂直；(3)传感器角度测量轴线 与柔性支承旋转轴线不共线。对于以上原因产生的 X，y轴间耦合进行线性近似 ，并通过给定 FSM 的装配公差指标计算出相应的耦合增益系数 K ，K ，K K进而 FSM 的传递 函数矩阵 G可表示为 ：FK G K G ]LK G K ，G由式(4)和式(5)，按照图 5所示模型，求得 G(s)，G (S)分别为 ：fG (5)- Gl(s) K G2( lG (s)G1(s) K△ G 2(S)其中：K ，K 为 x，y轴非 自由度方向的位移到自由度方向的线性近似耦合增益系数。

由于系统的加工与装配误差不可避免，轴间耦合必然存在，故实际系统均为 MIMO系统。但为简化控制系统设计 ，-般希望系统可视为 SISO系统。对于式(7)所示的传递函数矩阵，若 K 和K远大于 K 和 K (- 般取 两个数 量级 )，则可 视K ≈0、K ≈0，G近似 为 G 的形式 ，如式 (9)所示，进而将实际系统近似为 SISO系统。

G，-K-G 0]. (9)L 0 K G这就要求在总体设计阶段 ，设计人员需依照系统的运动范围和定位精度等指标，给定图6所示模型中K ，K 与K ，K 间的比例关系；并对各加工装配公差量进行控制 ，以保证 FSM 在满足运动范围和定位精度等指标的情况下可近似为 SISO系统 。

3.4 二 自由度 FSM 整体模型根据上述分 析结果 ，进 -步对 FSM 控制器 、第1期 黑 沫，等：基于动力学模型的快速反射镜设计驱动电路、角位置传感器等进行建模，可得到含有高阶谐振的二 自由度FSM整体模型，如图7所示。

其 中，C(s)为位置环控制器模型，G (s)为驱动 电路模型，G( )为角位置传感器模型。

图 7 二 自由度 FSM 模型Fig.7 Model of two DOF FSM在系统的总体设计阶段 ，可利用该模 型对各主要参数进行快速设计，并对设计结果进行性能仿真。这样就可以在进行细节设计前预测系统性能，及早发现问题并修改设计参数 ，确保参数满足系统的性能要求，从而提高设计效率。

4 基于模型的 FSM 设计实例根据上述分析结果 ，以表 1中的某两轴 FSM 指标要求为例，进行 FSM的主要参数设计和性能仿真，以描述基于动力学模型的FSM设计的具体方法。

设计原则，在保证系统高阶谐振频率大于 500 Hz的前提下 ，综合 电机最大 出力、材料强度和疲劳 以及 FSM 其它的性能指标等 ，基于图 7所示 的 FSM模型 ，依照图 8所示的流程对各关键参数进行反复迭代设计 ”]，最终得到系统的设计参数如表2所示。

表 1 某二 自由度 FSM 性能指标Tab.1 Performances of two DOF FSM 图 8 基于模型的FSM参数设计流程图指标 参数反射镜尺寸反射镜材料转角范 围定位精度带宽调节时 间(5 )总功耗75 mm × 7 m m微 晶玻璃±10 mrad≤20 Mrad≥250 Hz≤15 ms≤500 W伺服带宽是 FSM关键的性能指标，直接关系到本文所述的柔性支撑各向刚度的设计和电机的选型。由于 FSM 的带宽要 求在 250 Hz以上，因此根据高阶谐振频率为伺服带宽的2～3倍”这-Flowchart of parameter design of modelbased FSM表 2 某 FSM 设计参数Tab.2 Design parameters of FSM参数 数值 参数 数值Z 47 mm K 75 Nm/radJ 2.85×10 kg·m K△ O.O1，z 4.31×10- kg·m。 R 4.3O Qmz 0.33 kg L 1.40 mHK 1.09×10 Nm/rad K。 5.9O V/(m ·sec )Kz 8.40×10 N/m Kr 5.90 N/AC 5.96×10- m。 0.025 kg58 光学 精密工程 第21卷利用二自由度 FSM模型对表2中所列参数进行时域和频域性能仿真，得到x，y轴开环 Bode图如图 9，10所示▲-步利用 SISO工具对系统控制器进行设计 ，可得 FSM 模 型 X，y轴闭环 Bode图和闭环 阶跃响应如图 11～14所示 。综上可知，依照表 2中所列参数进行 FSM 的设计，其性能参数如表 3所示，满足系统的指标要求，故可依据表2中参数对系统进行详细设计 。

6040200200；；L -1 j-!!.蓦薯 ≮ 垂 -I ：- l 、 Frequency/Hz图 12 FSM模型y轴闭环 Bode图Fig.1 2 Y-axis close-loop Bode diagram of FSM modelfli- O.2 O.21 O22 023 0 24 0.25Time/s图 13 FSM 模型 X 轴闭环阶跃 响应Fig.9 X-axis open loop Bode diagram of FSM model Fig. 1 3 X-axis close-1oop step response of FSM mode1∞60。

. 200. 45. 90. 135. 180- 225. 2701-/ ： ：i淤 LFrequency/Hz图 10 FSM 模型 y轴开环 Bode图Fig.1 0 Y-axis open-loop Bode diagram of FSM model晕 。

. 40g-. 0 %1： 、 漤- 101 102Frequency/Hz图 11 FSM模型 x轴闭环 Bode图Fig.1 1 X-axis close-loop Bode diagram of FSM modelI-////- - ：0-2 0 2l 022 0.23 024 0 25 0.26Time/s图 14 FSM 模型y轴闭环阶跃响应Fig.1 4 Y-axis close-loop step response of FSM model表 3 时域、频域 仿真 结果Tab.3 Simulation results of time domain& frequency dom a1n∞p/0口置luM≈ -。-，。sBLIpBIⅢ/瘩 Ia旨《∞ pn警芝 e 蛊pBIⅢ/宣 Id毫《-。- sBI6O 光学 精密工程 第21卷∞皇吉羔 h d· · ，～ r i盯- 曹-㈠。

； i i i i ；Frequency/Hz图 20 FSM 模型 y轴 闭环 Bode图Fig.20 Y-axis close-loop Bode diagram of FSMprototyperTime/s图 21 FSM模型 X轴闭环阶跃响应Fig.2 1 X-axis close-loop step response of FSMprototype- - yJ/0.45 0.5 0 55 0 6Time/s图 22 FSM 模型 y轴 闭环 阶跃 响应Fig.22 Y-axis close-loop step response of FSMprototype表 4 FSM 样机时域、频域性 能Tab.4 Time domain ＆ frequency domain properties ofFSM prototype6 结 论本文以激光光束控制系统为应用背景，针对FSM 快速设计问题 ，提 出了-种基于动力学模 型的 FSM 设计方法。首先介绍 了 FSM 的结构与工作原理 ，然后建立 了 FSM 动力学模 型，最后设 计了FSM 的主要参数并进行了性能仿真。试验样机的性能测试结果表明：(1)建立的 FSM 动力学模型各参数具有明确的物理意义，基于该模型设计的FSM，其仿真结果与样机试验结果基本-致；(2)基于该模型对 FSM进行设计，在 FSM 低阶谐振频率较低的情况下，通过合理设计超前滞后控制器 、陷波器和低通滤波器抑制低 阶谐振，可使系统带宽达到 250 Hz以上 ，调节时间小于 15 ms，超调量小于 8%，定位精度优于 20 Frad；(3)该设计方法可在总体设计阶段对 FSM 进行参数设计与性能预测，优化了 FSM 设计流程，提高了 FSM 设计效率，所设计的 FSM 可满足激光光束控制系统的精确控制要求。