基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法

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Fault feature extraction of gearboxes based on multifractal detrended fluctuation analysisL/N Jin-shah -，CHEN Qian(1.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.School of Mechatronics and Vehicle Engineering，Weifang University Weifang 261061，China)Abstract： Gearbox fault data are usually characterized by nonstationarity and multiple scaling behaviors， adetrended fluctuation analysis(DFA)often fails to uncover their underlying dynamical mechanism.Multifraetal DFA(MF-DFA)is an extension of DFA and able to efectively reveal their underlying dynamical mechanism hidden innonstationary data with multiple scaling behaviors.To start with，MF-DFA was used to compute the multifractal singularityspectrum of gearbox fault data. Next，four characteristic parameters including muhifractal spectrum width，maximumsingularity exponent，minimum singularity exponent and singularity exponent corresponding to extremum of muhifractalspectrum had clear physical meaning，they could express underlying dynamical mechanism of gearbox fault data and couldbe employed as fault features of gearbox fault data.Consequently，a Hovel method for feature extraction of gearbox faultdata was proposed based on MF-DFA. Besides，the proposed method together with DFA was utilized to separate thenormal，the slight-worn，the medium-worn and the broken-tooth vibration data from a four-speed motorcycle gearbox.Theresults showed that the proposed method overcomes the deficiencies of DFA，it is sensitive to small changes of gearboxfault conditions，it can totally separate the fault patterns close to each other and is a feasible method for feature extractionof gearbox fault data。

Key words：multifractal；detrended fluctuation analysis；gearbox；feature extraction齿轮箱出现故障时，组成齿轮箱的各零部件之问的相互作用被加强，其内在表现是动力学行为往往表现出非线性和复杂性，外在表现是振动信号不但呈现出非平稳性，而且常常伴随复杂的自相似性，表现出混基金项 目：山东省 自然科学基金资助项 目(ZR2012EEL07)收稿 日期：2012-06-26 修改稿收到日期：2012-08-13第-作者 林近山 男，博士生，1978年生通讯作者 陈 前 男，教授，博士生导师，1951年生沌和分形等非线性特征。在这种情况下，要从复杂的齿轮箱故障信号中提取能够表征齿轮箱动力学行为的特征参数就变得非常困难。

经典的时域方法和频域方法只适合处理平稳的线性信号 j。在时频域信号处理方法中，小波变换方法得到了广泛的应用 J，但是小波变换本质上是-个线性方法且缺乏自适应性 J。经验模式分解能够自适应地处理非平稳非线性信号，但是经验模式分解方法98 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷仍然存在着诸如过包络、欠包络、端点效应和缺乏统-的筛分停止准则等问题5 J。这些缺陷影响了这些方法在齿轮箱故障特征提取中的效果。

复杂时间序列的波动状况实际上是复杂系统内在动力学机制的外在表现，通常表现为时间序列的长程相关性。时间序列的标度指数可以衡量时间序列的长程相关性。如果标度指数位于0和0.5之间，则说明时间序列存在反持续性的长程相关性，标度指数越接近0则反持续性越强；如果标度指数位于 0.5和 1之间，则说明时间序列存在持续性的长程相关性，标度指数越接近于 1则持续性越强；如果标度指数等于 0.5，则说明时间序列不具有相关性或仅仅具有短程相关性 。J。谱分析和重标极差分析等传统方法只适合计算平稳时间序列的标度指数，不适合分析非平稳时间序列的标度行为 。PENG等提出的去趋势波动分析(Detrended Fluctuation Analysis，DFA)方法 可以有效地量化非平稳时间序列的标度指数。与传统方法相比，DFA方法的优势是可以有效地排除由于时间序列的非平稳性所导致的虚假的长程相关性，从而真正揭示表征复杂系统动力学行为的那部分长程相关性 。

目前，国内外已经有文献将 DFA方法用于齿轮箱故障信号的特征提取 J。然而，DFA方法仅仅利用-个2阶波动函数来分析时间序列的标度行为，只能获得-个标度指数，因此只适合于处理具有单-标度行为(单重分形)的非平稳时问序列。但是现实世界中的时间序列通常比较复杂，-般具有多重分形特征，当用 DFA分析具有多重分形特征的时间序列时，由DFA方法得到的标度律曲线会在局部具有不同的标度指数，呈现出多标度的特征。这样，当用 DFA方法分析具有多标度行为(多重分形)的时间序列时，由DFA方法得到的单-标度指数通常会严重偏离它本来的物理意义，因此不再适合作为表征时间序列动力学行为的特征参数。

虽然传统的多重分形理论也可以分析时间序列的多重分形特征，但是传统的方法容易受到时间序列非平稳趋势的影响，以致不能准确揭示非平稳时间序列的多重分形特征 。Kantelhardt等 。。提出的多重分形去趋势波动分析(Multifractal Detrended FluctuationAnalysis，MF-DFA)是 DFA方法的拓展，它能够有效地分析非平稳时间序列的多重分形特征。MF-DFA首先通过-个去趋势过程来排除时间序列非平稳趋势的影响，然后利用不同阶次的波动函数来分析时间序列在不同层次上的标度行为，能够精细刻画时间序列的分形结构，可以充分揭示隐藏在非平稳时间序列中的多重分形特征，有效地克服了 DFA方法在分析多标度(多重分形)非平稳时间序列时的缺陷。目前，MF-DFA已经被应用于复杂化学系统的状态预测 和非线性模拟电路的故障诊断 等工程领域。

针对齿轮箱故障信号通常是多标度(多重分形)非平稳信号的特点，本文将 MF.DFA方法引入到齿轮箱的故障诊断中，提出-种基于MF-DFA的齿轮箱故障特征提取方法。对包含正常、轻度磨损、中度磨损和断齿故障的齿轮箱故障诊断的结果表明，基于 MF-DFA的故障特征提取方法对齿轮箱故障状态的变化非常敏感，能够区分相近的故障模式，有效地克服了传统DFA方法的缺陷，为齿轮箱的故障特征提取提供了-种新方法。

1 多重分形去趋势波动分析(MF-DFA)1.1 MF-DFA简介对于非平稳时问序列 (k1，2，，N)，MF-DFA过程如下：(1)构造信号轮廓 Y(i)y(i) ( -( ))，i1，，Ⅳ (1)1 v( ) ∑ (2)(2)将信号轮廓Y(i)以相同的长度s分成不重叠的 段数据。由于数据长度 Ⅳ通常不能整除S，所以会剩余-段数据不能利用。为了充分利用数据的长度，再从数据的反方向以相同的长度分段，这样-共有2 段数据。

(3)利用最小二乘法拟合每段数据的多项式趋势，然后计算每段数据的方差( )∑y[( -1)si]-Y (i)( 1，， ) (3)F ( ，s)∑y[Ⅳ-(口-Ns)si]Yv( )( Ns1，，2Ns) (4)式中：y (i)为拟合的第 V段数据的趋势。若拟合的多项式趋势为m阶，则记该去趋势过程为(MF-)DFAm。

(4)计算第 q阶波动函数的平均值 T-F2( 儿 (5)(5)如果时间序列 存在自相似特征，则第q阶波动函数的平均值 F (S)和时间尺度s之间存在幂律关系F (s)。C s (6)式中：h(q)为广义 Hurst指数。如果 是多重分形时间序列，则 h(q)会随着 q的改变而变化；如果 是单重分形时间序列，则 h(g)是不依赖于 q的常数。当q2时，MF-DFA方法退化为 DFA方法。当 q>0时，F (S)主要反映时间序列中的大波动状况；当q<0时，第2期 林近山等：基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法F。(S)主要反映时间序列中的小波动状况。当q0时，式(5)发散，这时 h(0)通过式(7)所定义的对数平均过程来确定F0(s)-x ) (7)1.2 MF-DFA与经典多重分形理论的关系对于平稳的、归-化的时间序列 ，由式(6)得到的广义Hurst指数h(q)和由标准配分函数得到的标度指数 r(q)存在式(8)所示的关系 ：(g)qh(g)-1 (8)通过 Legendre变换可以得到描述多重分形的两套参数 ，-套是奇异指数Ot和多重分形谱 Od)：： 塑 ： (g)qh，(q) (9)clq O1)qct-下(q)q[Ol-h(q)]1 (10)另-套是波动函数的矩阶数 q和广义维数 D。：q：掣 (1) - - L Il等 (12)2 由MF-DFA得到的多重分形奇异谱参数的物理意义由MF-DFA方法获得的多重分形奇异谱是-套能够精细刻画多重分形时间序列动力学行为的参数 。

奇异指数 反映了分形体在某小区域内生长几率的大小，表达了时间序列在局部概率测度分布上的不均匀程度 。奇异谱f( )是奇异指数 Ot的分维分布函数 。多重分形奇异谱f( )有三个特征点，即左、右端点和极值点。多重分形奇异谱曲线在左端点的斜率q- ∞，因此左端点的横坐标 Ot 对应着最大波动的奇异指数；在右端点处斜率 q -∞，因此右端点的横坐标 - 对应着最小波动的奇异指数。多重分形谱的宽度 △ Ot- - 反映了时间序列在整个分形结构上概率测度分布的不均匀性程度，△ 越大则概率测度分布越不均匀，多重分形越强烈 。对于单重分形时问序列，△ 0。多重分形奇异谱极值点处的斜率q0，所以多重分形谱的极值等于 Hausdorf维数 D0，即.厂(Od。)D。，而O/。反映了在 g0的情况下时间序列在概率测度分布上的不均匀程度。

3 齿轮箱故障诊断实例本文所使用的齿轮箱故障信号来自-个四速摩托车齿轮箱实验装置 。该实验装置由电动马达、齿轮箱和负载摩擦轮组成 ，通过四个缓冲器固定在实验台上。在实验中，参与啮合的主动齿轮和被动齿轮的齿数分别为24和29，输入轴转速为1 420 r/min。振动信号由安装在靠近输入轴的齿轮箱外壳上的加速度计测取，采样频率为 16 384 Hz，数据长度为 4 s。实验数据包含正常、轻度磨损、中度磨损和断齿四种齿轮箱故障状态。在这个实验中，特意设计了轻度磨损和中度磨损这两种相近的故障模式用以检验算法的性能，因此轻度磨损和中度磨损的分离是故障诊断的难点～每种齿轮箱振动信号分成四段，每段长度为 1 S。四种不同的齿轮箱振动信号分别如图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。从图1可以看出，正常状态和断齿故障振动信号较容易区分，而轻度磨损和中度磨损振动信号由于故障模式相近而难以区分。

(d)断齿图 1 四种齿轮箱振动信号Fig.1 Four types of gearbox vibration data首先采用传统的 DFA方法对上述四种齿轮箱振动信号进行标度分析，得到的标度律曲线分别如图2～图5所示。从图2～图5可以看出，齿轮箱的振动信号存在着三个明显的标度区间：时间尺度小于 56的区间为第-个标度区间，这时标度指数小于0.5，所以在这个标度区间内时间序列呈现出反持续性的长记忆特性；时间尺度位于 56到 707之间的区间为第二个标度区间，这时标度指数大于 0.5，所以在这个标度区间内时间序列呈现出持续性的长记忆特性；时间尺度大于707的区间为第三个标度区间，这时标度指数接近0，呈现出强烈的反持续性的长记忆特性。对所有的四段齿轮箱振动信号进行标度分析，各段数据的局部标度指数和单-标度指数如表 1所示，其中符号 (2)、h (2)和 h，(2)分别代表齿轮箱振动信号在不同时间尺度上的标度指数，符号 h(2)代表由DFA方法得到的单-标度指数。

从表 1可以看出，虽然齿轮箱的振动信号在整个时间尺度范围内不存在-致的标度行为，然而DFA方法却强行地用直线来拟合齿轮箱振动信号的标度律曲线，结果得到的单-标度指数不能反映三个标度区间中任何-个标度区间的标度行为。所以，对于存在多标度行为(多重分形)的非平稳时间序列来说，由DFA方法得到的单-标度指数严重偏离了它本来的物理意义，因此不能作为表征时间序列内部动力学行为的特征参数。

100 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷表 1 齿轮箱振动信号的局部标度指数和单-标度指数Tab.1 Local scaling exponents and the singlescaling exponent of the gearbox vibration data图2 正常齿轮箱振动信号的标度律曲线Fig.2 The scaling-law curve of thenormal gearbox vibration datalg图5 断齿齿轮箱振动信号的标度律曲线Fig.5 The scaling-law curve of thebroken-tooth gearbox vibration data采用 MF-DFA方法对四种齿轮箱振动信号进行分析，得到的广义 Hurst指数曲线如图6所示，多重分形奇异谱如图7所示。从图6可以看出，四种齿轮箱振动信号的广义 Hurst指数 h(q)都是关于 g的曲线，这说明四种齿轮箱故障信号都存在着多重分形特征，这也是导致齿轮箱振动信号出现多标度行为的原因。同时，内在动力学机制的不同导致这四种振动信号的广义 Hurst指数 h(q)具有明显不同的形状、位置和值域。

从图7可以看出，四种齿轮箱故障信号的多重分形谱.厂( )具有明显不同的形状、位置和分布。从齿轮箱故障信号的多重分形谱提取的四个参数如表 2所示。从表2可以看出，除了断齿振动信号的奇异指数 外，其它故障信号的多重分形谱参数的均方差与均值相比都非常小，说明这四个多重分形谱参数比较稳定，适合作为表征齿轮箱故障状态的特征参数。以奇异指数 。和- 作为齿轮箱故障信号的二维特征参数对齿轮箱故障进行分类，结果如图8所示。再以奇异指数 和 -作为齿轮箱故障信号的二维特征参数对齿轮箱故障进行分类，结果如图9所示。从图8、图9可以看出，两组特征向量都可以将故障模式相近的齿轮箱振动信号清楚地分lg图3 轻度磨损齿轮箱振动信号的标度律曲线Fig.3 The scaling-law curve of theslight-worn gearbox vibration dataq图6 四种齿轮箱振动信号的广义 Hurst指数曲线Fig.6 The generalized Hurst exponent curvesof four types of gearbox vibration data离，这说明MF.DFA提取的特征参数对齿轮箱故障状态的变化非常敏感，能够区分非常相近的故障模式，因而适合作为齿轮箱振动信号的故障特征。

传统的DFA只适合分析单-标度(单重分形)非平稳时间序列的标度行为。采用传统的DFA方法分析具有多标度行为(多重分形)的非平稳时间序列时，得到的单-标度指数通常会严重偏离它本来的物理意义，因而不能反映时间序列的局部动力学特征。MF。

DFA可以充分揭示隐藏在非平稳时间序列中的多重分.1g图4 中度磨损齿轮箱振动信号的标度律曲线Fig.4 Th e scaling-law curve ofthemedium-worn gearbox vibration data图7 四种齿轮箱振动信号的多重分形奇异谱Fig.7 Muhifractal singularity spectra offour types of gearbox vibration data图8 奇异指数% 和 - 对齿轮箱故障信号的分类结果Fig.8 Th e results of separating four types of gearbox vibrationdata with the singularity exponents 0 and- 形特征，得到的多重分形奇异谱精细刻画了多重分形第2期 林近山等：基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法 1O1- ×图9 奇异指数 和 - 对齿轮箱振动信号的分类结果Fig.9 The results of separating four types of gearbox vibrationdata with the singularity exponents and oL- 时间序列的动力学行为。从多重分形谱上提取的特征参数具有明确的物理意义，表达了时间序列内部的动力学机制，对系统状态的变化非常敏感，因此适合作为表征系统状态的特征参数。

表 2 齿轮箱振动信号的多重分形奇异谱参数Tab.2 The parameters from the multifractalsingularity spectra of the gearbox vibration data4 结 论传统的DFA方法不能准确揭示具有多标度行为(多重分形)的齿轮箱故障信号的动力学特征。MF-DFA方法可以充分揭示隐藏在非平稳的齿轮箱故障信号中的多标度行为，得到的多重分形奇异谱能够精细刻画齿轮箱故障信号的多重分形特征；从多重分形谱上提取的特征参数具有明确的物理意义，能够表达齿轮箱故障信号的动力学机制，适合作为齿轮箱故障信号的特征参数。对齿轮箱故障诊断的结果表明，基于MF-DFA的故障特征提取方法对齿轮箱故障状态的变化非常敏感，能够区分非常相近的故障模式，有效地克服了传统DFA方法存在的缺陷，为齿轮箱的故障诊断提供了-种新方法。

鉴于旋转机械的-些共同特点，基于 MF-DFA的故障特征提取方法可以方便地应用于其它旋转机械的故障诊断。对于更加复杂的机械系统，可以使用更多的故障特征参数来表达更加复杂的故障模式。目前，MF-DFA方法在机械故障诊断中的应用才刚刚起步，本文算是-个尝试，所以许多问题还有待进-步研究，例如各种噪声、趋势拟合的阶数和信号的长度等因素对MF-DFA计算结果的影响等。另外，基于MF-DFA的故障特征提取方法可以与神经网络、支持向量机以及判别分析算法相结合，建立智能的机械故障诊断系统。