基于运动学的Delta机器人优化设计

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

与串联机器人相比，并联机器人因采用闭链结构，具有刚度大、精度高、承载能力强及 自重负荷比小等优点，特别适合于高速操作。作为-种高速、轻型的并联机器人的成功范例，Clavel博士于 1985年发明了Delta机器人。这种 Delta机器人采用外转动副驱动和平行四边形支链结构，可实现末端执行器的高速三维平动。Delta机器人 4。在电子、轻工、食品与医药等行业中得到了广泛的应用。随着并联机器人的广泛应用，国内外许多学者都对其进行了深入的研究，并提出了许多设计理论。参数优化 剖是并联机器人设计的核心内容之-，其含义是：在满足-定机构约束条件下，利用运动学性能评价指标构造 目标函数，通过优化尺度参数使 Delta机器人在其工作空间内获得优良的操作性能。目前，用于优化的性能评价上海市教育委员会重点学科建设资助项 目(J50503)34指标并不统-，运动学尺度综合通成采用的性能指标有：雅克比矩阵的条件数 J、最序最大奇异值、可操作性和各向同性等。本文以Delta机器人作为研究对象，将机构雅克比矩阵的奇异值和条件数作为性能指标，确定关节变量范围和尺寸参数，使 Delta机器人的操作性能和运动精度趋于最优，从而得出 Delta机器人的最优尺度参数 ，并通过算例以示其正确性。

1 研究对象简介本文以能够实现高速捡取物料的空间三维平动自由度的 Delta机器人为实例进行研究，Delta机器人实体如图1所示，Delta机器人数学模型如图2所示。

Delta机器人由静平台A A A 、动平台 C1 C2C3、三根主动臂(A。日。、A：B：、A，B，)、三个平行四边形从动臂(BC 、B C 、B C。)组成。主动臂与静平台通过转动副相连接，从动臂-端通过球铰与主动臂相连，另-端通宫赤坤 ，等：基于运动学的 Delta机器人优化设计 2013年第 5期过球铰与动平台相连。三个这样的平行四边形从动臂保证了动平台只能有三个方向的平动自由度。

3图 1 Delta机器人实体图2 Delta机器人数学模型2 运动学分析2.1 位置逆解与速度推导0'-X～Y Z 建立在动平台 C C：C。的几何中心，参考坐标系 0-XYZ建立在静平台 。A： ，的几何中心，0表示主动臂 A i(i1，2，3)的输入角。

设：l l：rn，0 C I ， 、r 分别为静、动平台外接圆半径，则点 A 在参考坐标系 0-XYZ中的位置矢量为：0。 [FaCO$O/ Fasino 0]点 C 在坐标系 O'-X Y Z 中的位置矢量为：c。， [r eOSOL r。sino 0]式中：OL 为静、动平 台的结构 角，OL (4 -5) /6，i1，2，3。

根据几何关系，点 在参考坐标系 O-XYZ中的位置矢量可表示为：b [(r。lcos0 )co8o/ (r flcos0 )sin -l sin0 ]式中：Z 为支链主动臂的杆长。

因此，矢量 在参 考坐标 系 O-XYZ 中可表示为 ：A B Zl(cos0 COSOL cos0 sinol -sin0 )假设点 0 在参考坐标系 O.XYZ下 的位置矢量r( Y ) ，则有：rn。 A B C -c。， i：1，2，3 (1)即 ：r叼 Z1 12y i1，2，3 (2)式中：J，7 叼(cos0 sin0[ 0) ，i1，2，3，，7为静、动平台外接圆半径之差，r/rⅡ-rc；z 为支链从动臂的杆长；卢 、y 分别为支链 i主动臂和从动臂的单位矢量。

因此，当给定 Delta机器人运动平台的位姿，运用几何学关系，由式(2)可推导出 Delta机器人主动臂的输入角 0 为：0 2aretan(-G -/G -E D )/(E -D )i1，2，3 (3)G 2l1(r-卵f) 3D -2l1(r-'7 ) ( leoso/ 2sinol )E (r-r/ ) (r- ) -式中： 。[1 0 0] ； [0 1 0] ； ，[0 0 1] 。

由式(3)解出0 后，就可确定出从动臂的单位矢量 为： (r-叼 -zl卢 )/l2 (4)将式(2)两边都对时间 t求导，由于： 0 (sin coso/ 0) ，设： (sino eoso 0) ， ，得到： Z1 0 ( 。×卢 )lzw × (5)式中： 为动平台运动速度；0 为主动臂 i的角速度；tfr为垂直于由 与 张成平面的单位矢量；∞ 为从动臂 i的角速度。

将式(5)左右两边同时点乘 ，得： z y ( ×卢 ) (6)整理并简化后得：Z.0Jv (7)Jdiag[ ( X )][ l 2 3]式中：.，为 Delta机器人的雅克比矩阵。

2.2 精度映射分析当主动臂输入角误差 △ [△ △ ： △ ，]时，引起的动平台位置误差 Ar[△r △r △r，] ，因为误差的数值很小，根据微分原理可知 AO/At352013年第 5期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)kAr/At，k为两微分的线性关系数，再由式(7)可得 AO与 Ar之间的近似表达式为：AOJAr (8)由矩阵奇异值理论知，矩阵 -，的奇异值 or与矩阵，.，的特征值 A存在如下关系：ro(J)，/A(jTj)，/A(J ) ， ormi(J) - 1(J )根据线性代数理论，由式(8)可推出，or (J )越小，由输入角误差 l△ l引起的动平台位置误差1△r1就越小；因此，为了获得良好的数值稳定性，应使 (J )-min，即 or mi (，)maX。

可见，雅克比矩阵的最小奇异值反映了机构的稳定性 ，为了获得良好的运动精度，应使雅克比矩阵的最小奇异值 or 最大。

2.3 操作性能指标从运动学角度看，机构的操作性能主要指从关节空间到操作空间的运动速度映射特性。机器人的雅克比矩阵定义为它的操作速度与关节速度的线性变换，可以看成是从关节空间向操作空间运动速度的传动比。由式(7)可知，Delta机器人的雅克比矩阵描述了关节空间的转动速度 0与动平台运动速度 的线性关系。由于雅克比矩阵.，的条件数 /q能较好地反映机构操作空间与关节空间的速度、精度和静刚度映射特性，被广泛采纳为 Delta机器人局域操作性能指标，其定义为：Kor /or i (9)式中：or 、 i 分别为 I，的最大与最小奇异值，Or max(/A )，Or min(/A )，A (i1，2，3)为矩阵I， 的特征值。

由线性代数的分析可知，矩阵的条件数总是大于1。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程式(7)，如果 '，的条件数大，0的微小改变就能引起解 较大的改变，数值稳定性差。如果.，的条件数小，0有微小的改变， 的改变也很微小，数值稳定性好∩见，Delta机器人的雅克比矩阵条件数越接近于 1，其工作性能越好，而矩阵的条件数与矩阵的奇异值密切相关。因此，希望所设计的 Delta机器人在给定工作空间内的各个位形的雅克比矩阵奇异值旧能趋于 1，进而矩阵的条件数趋近于 1，从而满足提高工作性能的需求。

36因此，对于给定的工作空间，根据上述的分析，综合前面所列的各种指标可求得满足性能要求的最优结构参数，从而可以得到Delta机器人的最优设计尺寸。

3 算例解析通过上述分析，可以将 Delta机器人的优化设计问题归结为以Delta机器人雅克比矩阵条件数，(作为 Del·ta机器人局域操作性能指标的-类优化问题。本文所设计的Delta机器人工作空间直径为 l 100ram，高 h250mm。工作空间上边界的尺度参数为Hf。-f sin0 ，日为静平台中心到设计空间上边界的距离，0 为主动臂输入角的上极限角，静、动平台半径差 叼150mm，f R/p-r/350mm，R为工作空间半径，p为Delta机器人工作空间与其尺寸之比，-般取p1-1.1。

图3、图4给出了当0 36。-48。时，Delta机器人在全域的最大奇异值 最小奇异值 or i 随 z 0.6m～1.2m的变化规律。

4遥 3缺糖 喵 2O理 0味糖-'略 00O.5 0.7 O.9 1.112/m图 3 最大奇异值变化规律 互～ .篓 ～， - - 乏乏≤ 赢 36。

《fO.5 O.7 O.9 1.11Jm图4 最小奇异值变化规律由前面所述可以知道，矩阵的最小奇异值越大，Delta机器人的精度越高。而条件数反映了Delta机器人的操作性能，条件数越小 Delta机器人的操作性能宫赤坤，等：基于运动学的Delta机器人优化设计 2013年第5期就越好，根据公式(9)可知，当最大奇异值越小，最小奇异值越大，Delta机器人的条件数就越校因此，根据这两个性能指标可以对 Delta机器人的参数进行优化选龋由图 3、图 4所示可知，当 48。，f 810mm时，最大奇异值取得最小 or 1.85，最小奇异值取得最大 or 0.543，并可求出静平台中心到设计空间上极限位的距离 H550ram。据此可以综合得到Delta机器人的-组优化设计参数：z ：350mm，f2810mm，叼150ram，H 550mm， 48 OO根据上述优化后得到的尺度参数建立 Delta机器人虚拟样机，并在计算机中对其进行全域性工作性能分析，图5、图6、图7所示给出了条件数在工作空问上表面、中问层和下表面的分布规律。

图5 上表面条件数图 6 中间层条件数由图5～图7所示可知，工作空间上表面、中间层及下表面的条件数逐层增大。这就说了 Delta机器人上表面的操作性能优于中间层与下表面，也就是说Delta机器人的操作性能从下至上依次上升。因此，为保持 Delta机器人较高的工作性能，-般建议在工作空间的上半部分进行工作。笔者根据该优化设计方图7 下表面条件数法设计出的 Delta机器人物理样机，在实际工作中达到了预期的效果，这就更好地证明了本文优化设计理论的正确性。

4 结语本文对可实现三维平动自由度的 Delta机器人进行了运动学分析，以雅克比矩阵的奇异值和条件数作为约束性能指标，通过分析比较得到了 Delta机器人的-组最优尺寸；同时分析了 Delta机器人的操作性能在工作空间内的变化规律，对于提高机构的工作性能具有重要意义。根据优化后得到的机构尺寸参数，设计出Delta机器人物理样机，实际运行达到了预期要求，说明该设计方法是正确可行的。