磨粒群盒维数计算过程中的参数优选法

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A Parameter Optimization Method of Box Dimension Calculationf0r W ear Particle GroupZhang Huailiang · Xiao Lei Zou Baiwen(1.State Key Laboratory of High Performance and Complex Manufacturing，Central South University，ChangshaHunan 410083，China；2.College of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，ChangshaHunan 410083，China)Abstract：To solve the lower accuracy problem using box counting method for wear particle group fractal dimension cal-culation，a parameter optimization method in box dimension calculation was proposed.The efects of the factors such as theimage size，the box size boundary，box-counting way，box size growth mode on the fractal dimension were analyzed.Theprimary and secondary order of the factors influencing the calculation accuracy was determined by an orthogonal test，theparameter optimization combination was acquired.The resuhs show that，with image size being 500 X 500 pixel，box sizeboundary ranging from one pixel to the entire image size，scaling parameter being 0.4，box size growing with arithmeticmode，the box dimension calculation accuracy is improved efectively。

Keywords：images of weal"particle group；fractal；box counting method；orthogonal test磨粒群分形维数是衡量磨损状态 的重要参数 ，盒维数法计算简单，易于实现程序化计算，是实现磨粒群分形维数测定的-种有效算法 ，但受图像大孝盒子尺寸边界、统计盒子方式、盒子尺寸增长方式等因素的影响，计算精度偏低 。

为提高盒维数计算精度，Ajay等 研究了盒子尺寸边界对分形计算的影响，给出了盒子大小的准确限制；孙博玲 指出了盒维数计算过程中盒子统计的缺陷；梁东方、李厚强等 。。 提出了-种新的盒基金项目：湖南势技计划资助项目 (2008WK3037)。

收稿日期：2012-10-24作者简介：张怀亮 (1964～)，博士，教授，从事摩擦学研究与故障诊断。

通讯作者：肖雷 (1989-)，男，硕士研究生，研究方向为机械设计及理论 .E-mail：271359070###qq.com。

子统计方式用于提高盒维数计算精度；彭瑞东等就图像大孝盒子尺寸增长方式对计算精度的影响进行了深入探讨。前人研究的成果多为考虑单个因素对分形计算的影响，而盒维数的计算是-个各因素相互影响的综合过程，影响因素间的相互作用不能忽视，必须研究多因素参数组合对盒维数计算的影响。

1 磨粒群分形维数计算的影响因素分析设F是R 上任意的非空有界集合， (F)是直径最大为6，可以覆盖 F的最少个数 ，定义 F的上、下盒维数为：DimBF (1)D-imBF (2)如果这两个值相等，则称这共同值为 F的盒维14 润滑与密封 第 38卷数，记为DimsF (3)针对具体的磨粒群图像，采用盒维数法 (Boxcounting method)计算盒维数 (见图1)。以边长为 r值的正方形 盒子”覆盖磨粒群图像，如图 1(a)所示，统计关心区域所占据的盒子个数Ⅳ (r)，改变盒子尺寸r统计不同尺寸r下的盒子个数，将上述计算所得的-系列盒子个数与盒子尺寸取对数绘入坐标系中，进行最/b--乘法线性拟合，所得直线斜率的绝对值即为磨粒群的盒维数，如图1(b)所示。

1O8- 64 2(a)盒子覆盖” Z 4 6log(1/r)(b)磨粒群分形维数图 1 盒维数测定磨粒群分形维数Fig 1 Fractal dimension calculation of wear particle groupby box counting method计算过程中，图像大孝盒子尺寸边界、盒子尺寸增长方式等影响因素的选取对计算精度有重要影10- k- 5∞ 三00 2 4 6 8log(1/r)(a)1≤，≤Ml0- 之 5警 O响，影响因素通过改变盒子尺寸r与盒子个数Ⅳ (r)两者间的数据样本点影响计算精度。如数据样本点过少或数据不准确，拟合误差变大，出现计算结果失真现象 ，因此 ，研究各因素对分形维数计算的影响规律有重要意义。

1.1 图像 大小对分形计算的影响规律图像尺寸增大，包含在图像中的数据样本点就越多，增加了用于计算的数据，计算误差呈现减小趋势，当图像尺寸增大至1 000 x 1 000时，计算误差最小，此后随着图像尺寸的增大，图像中关心区域所占整个图像的比例急剧减小，所得的有效数据减少，计算结果逐渐减校图2示出了图像大小对 Koch曲线分形维数计算的影响规律，表明图像大小并非越大越好，而是在-个确定的范围里，其计算精度较高。

蝌ll1分形维数计算值 计算值与理论值的误差. 351。3.251.2.1S1.1.05350 500 1 000 1 500 2000图像边长像素图2 图像大小对分形计算的影响Fig 2 Efects of image size on fractal dimension calculation1.2 盒子尺寸边界对分形计算的影响规律不同的盒子尺寸边界 ，数据样本点的分布情况不同，计算结果差别较大。图3反应了不同盒子尺寸边界对 Sierpinski方毯分形计算的影响，对于大小为M×M的数字图像，盒子尺寸边界取 1≤r≤M/2时，表示不使用尺寸大于M/2的盒子覆盖图像，剔除了盒子尺寸大于 M/2的数据点 ，数据点不同于盒子尺寸边界取 1≤r≤M的情况，导致拟合结果出现差异。

log(1/r) log(1/r)(b)2≤，≤M (C)1≤，≤肘，2图3 盒子尺寸边界对分形计算的影响Fig 3 Efects of box boundary on fractal dimension calculationlog(1lr)(d )2≤，≤ ，2榭￥1仰 仰 ∞ 仰 ∞l 8 6 4 2 O 2013年第 5期 张怀亮等：磨粒群盒维数计算过程中的参数优选法 151.3 盒子统计方式对分形计算的影响规律计算过程引入比列参数 A，改变了盒子的统计方式。比例参数 A反应盒子中关心部分所占份额。

A： P(r) (4)式中：n为盒子内关心部分像素点总个数；P(r)为盒子边长为r时，盒子内所有像素点的个数。

取A大于某数值统计盒子个数，含过少关心部分像素点的盒子将被剔除，该统计方式更能反应分形图像细节和内部的不均匀性。图4示出了比例参数A对矩形分形维数计算的影响，当A为0时，即未引入比例参数，分形维数为 1.883 0，低于理论值 2；随着 A逐渐增大，分形维数也随之增大，当 A增大至 0.5后，表示有效部分所占份额小于-半的盒子将视为空盒子，过多细节部分被剔除，分形维数值急剧增大且大于理论值2，计算精度随之下降。-般 A的取值在0.2左右有较好的改进效果。

比例参数 图4 比例参数 A对分形计算的影响Fig 4 Efects of scaling parameter on fractal dimension calculation1.4 盒子尺寸增长方式对分形计算的影响规律图 5示出了盒子尺寸增长方式对 Sierpinski方毯分形计算的影响，盒子尺寸以2。，2。，2 ，2 ，，2 的方式增长，便于实现计算机编程，不能确保计算精度。磨粒群图像较小时，采用此增长方式计算时，盒子数据样本点过少，拟合误差增大。盒子尺寸以倍数增长时，用于拟合的样本点增多，由于双对数图的压缩作用，随着盒子尺寸的增大，数据点密集分布，当盒子尺寸r超过M/2时，会出现-批 logⅣ(r)值近似的点，不利于数据点拟合。

log(1/r)(b)图5 盒子尺寸增长方式对分形计算的影响Fig 5 Efects of box size growth mode on fractal dimension calculation2 磨粒群分形维数计算方法的改进利用单因素分析法提高磨粒群分形维数的计算精度忽视了各因素之间的相互影响，本文作者提出了-种提高磨粒群分形维数计算精度的改进思路：首先设计正交试验，利用正交试验法 均匀分散，齐整可比”等特点 以较少的试验次数完成对多因素较为全面的分析，确定影响分形计算的主要因素和次要因素，确定影响因素的参数优选组合，选用该参数优选组合计算磨粒群分形维数，达到提高磨粒群分形维数计算精度的目的。

通过正交试验，探索图像大孝盒子尺寸边界、统计盒子方式、盒子尺寸增长方式等4个重要影响因素对分形计算的影响规律；并获得能提高计算磨粒群分形维数计算精度的影响因素参数优选组合。

2.1 试验因素的确定计算磨粒群分形维数，主要影响因素有图像大孝盒子尺寸边界、为统计盒子个数引入的比例参数A、盒子尺寸增长方式4个因素。根据以往经验和相关文献 ，其水平选择如表1所示。磨粒群分形维数无客观存在的理论值，而矩形、Sierpinski方毯等规则分形图形具有确定的分形维数值，计算结果直观反应出各因素对计算影响的大小，因此选择矩形、Sierpinski方毯等规则分形图形作为研究对象，根据因素以及水平，设计正交试验方案为 L (4 )，共16次试验，见表 2。

16 润滑与密封 第 38卷表 1 因素水平表Table 1 Orthogonal experiment factors表2 试验方案Table 2 Test scheme2.2 试验验证极差分析直观形象，操作简便，极差值越大，表示该因素的改变将导致试验结果产生较大改变，由极差分析可得出各因素对分形计算影响的主次顺序。试验结果的极差分析见表3。

2013年第 5期 张怀亮等：磨粒群盒维数计算过程中的参数优选法 17表3 极差分析Table 3 Range an alysis矩形圆形KlSierpinski方毯16.3121.3721.7927.8211.5213.9822.7720.1721.228.7916.308.101O.327.928.3828.9124.0324.559.8019.1126.9822.8Ol5.7312.6314.356.749.819.0917.O110.27比较各因素的极差 的大小，因素D(盒子尺寸增长方式)的极差值 R最大，说明盒子尺寸增长方式的改变对分形计算的影响较大，为敏感性因素。且试验结果 K 值都相对较大，说明盒子尺寸以20，21，，2n方式增长时，由于拟合的数据样本点过少，计算误差较大。因素 A (图像大小)对分形计算的影响最校各因素对分形维数计精度影响的主次顺序为：D(盒子尺寸增长方式)、C(比例参数A)、B (盒子尺寸边界)、A (图像大小 )。通过极差分析确定各因素的选优组合为 A。B c D：，即取图像大小为500×500像素、盒子尺寸边界为 1≤r≤ 、比例参数为0.3、盒子尺寸增长方式为 2，4，6，，2n时，分形维数计算精度较高。

为验证参数优选组合的正确性，选择已知分形维数的图像进行计算检验，计算结果如表4所示，对于关心区域像素连续分布的矩形、圆形，以及关心区域像素离散分布的Sierpinski方毯等图形，参数优选法较传统算法有更高的计算精度，计算误差均小于1%表4 计算检验结果Table 4 The comparison of the result of computation舳 舛 卯 勰 钾 吣 H ：2 踮m M m m骼 ∞ ∞ %：2 如 m m 儿R18 润滑与密封 第 38卷3 结论(1)各因素对分形计算的影响主次顺序为：盒子尺寸增长方式、统计盒子方式、盒子尺寸边界、图像大校(2)参数优选组合为图像大小取像素500×500，盒子尺寸边界选择1≤r≤ ，比例参数 A取0.4，盒子尺寸以2，4，6，8，，2n等差增长。参数优选法能有效提高磨粒群盒维数计算精度。