基于牛顿-欧拉法的3-UPS／S并联机构动力学分析

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

与6自由度并联机构相比，少自由度并联机构结构简单，控制容易，且能够满足特定任务的需要，因此成为 目前并联机构研究的热点。具有中间约束分支的3自由度并联机构，由于中间球铰的约束作用，仅能做三维转动，因此在踝关节康复这类仅需定位的诚得到应用n 。迄今，国内外学者已对该类机构的工作空间、运动学、奇异性及优化设计等方面开展了广泛的研究。

机构动力学建模的主要 目的是研究机构运动参数与驱动力之间的映射关系，它是机构优化设计、动态性能评价及运动控制的基矗黄真 等人采用拉格朗 日法和-阶、二阶运动影响系数导出了6自由度并联机构的动力学模型。Dasgupta 等人采用牛顿-欧拉法建立了Stewart平台的反向动力学递推模型及基于工作空间和基于关节空间封闭形式的动力学模型。张国伟 等人以Kane方法为基础，推导了Stewart平台的动力学方程，并与牛顿欧拉法进行了比较。李新友 等人亦采用Kane方法对基于中央立柱约束的3UPS/S并联机构进行了动力学建模。张建政 等人基于牛顿-欧拉方法推导出6-PSS并联机构动力学方程的开式和闭式形式。并联机构由于其闭环特点决定了其动力学模型是-个多自由度、多变量、强耦合的复杂非线性系统，其建模型方法主要包括拉格朗日法，牛顿-欧拉法，凯恩法等。其中，采用拉格朗日法得到的动力学模型虽然具有显式的结构，但运算量较大；凯恩法运算量小，但求解过程不出现约束反力，且过程晦涩；牛顿-欧拉法虽然推导过程较为繁琐，但概念清晰，没有多余信息，运算量校本文以3-UPS/S型并联机构为研究对象，采用牛顿-欧拉法得到其动力学模型，得到机构驱动力与外力及运动参数间的映射关系。

1 机构运动学分析图1所示的3.UPS/S型并联机构中，动平台和静平台之间通过3条UPS型运动支链连接。包含球铰的中间约束分支上下端分别与动静平台中心固定连接。由于UPS型运动支链不限制动平台的自由度，因此该机构在中间约束分支的限制下，仅作绕球铰D的三维转动 。

图1 3-UPS/S型并联机构骰稿日期：2012-10-19基金项目：上海高校盐培养优秀青年教师科研专项基金项目(1 1AZ10)；上海市电机学院科研启动经费项 目资助(11C402)；上海市教育委员会重点学科建设项目资助(J51902)作者简介：印松 (1979-)，男，博士，讲师，主要从事机电-体化方面的研究。

[861 第35卷 第1期 2013-01(下)务l 匐 化对任-运动支链i进行分析，由空间向量关系可得P：f Pi-6 (1)其中，tiB.tP 向量，其长度为fi，单位方向向量记为 i；P 为点Pf的位置向量；bi为点 的位置向量。上式即为机构位置运动关系。

由点 运动速度关系可得：×zf M fOp (2)其中， ，∞分别为运动支链 尸 和动平台的角速度。

式 (2)两端点乘 可得支链伸缩运动速度为：f( × )-∞ (3)对式 (1)两次求导可得：×P 09× ×Pi) (4)其中s为动平台角加速度。

将式 (2)两边叉乘 ，可得运动支链角速度和角加速度为：： (5)IiA ： (6)lf支链伸缩运动加速度可表示为： ·w ·z (7)设点 到支链下缸体质心的向量为f，长度为，f，可得缸体质心速度及加速度为：1， ×z (8)aliAi×fn f×( f×f ) (9)设点 到支链上活塞质心的向量为乞， 长度为乞 ，可得活塞质心速度及加速度为：V ×Z 乙Uf (10)以 Ai×lui ×(W ×z )乞 十2乇 ( × )(11)2 机构动力学分析动力学分析分别以运动支链和动平台为研究对象，然后通过约束关系把两者联系起来，最终得到整个平台的动力学模型。

2.1运动支链动力学运动支链相对 的欧拉方程可表示为：， ·Afwf×(， ·w ) ，c·Afwf×( ，c· )m tf× f， ×liM ，ufzf×R Zf×mufgz ×m g(12)其中， 。为活塞相对 自身质心的惯量张量，为缸体相对自身质心的惯量张量， 为支链在点所约束受力矩在Ui方向上的投影， 为支链在Pl点所受约束力。

将上式两端叉乘 ，得：f-liR Di (13)其中， 为 在U 方向上的投影，D 为：DjUf× ·Afwf×( · )，fc·Af ×(.， ·W ) ，z ×( -g)mtil，×( -g)]运动支链整体的牛顿方程为： 肼muigmligmufauimali (14)其中， 为支链在 点所受约束力，m i和m。

由活塞的牛顿方程得：m (a -g)·Uf- (15)其中， 为缸体对活塞作用力沿 ；方向的投影，即驱动力。

2.2动平台动力学对动平台进行分析，由牛顿定理有：三 。

- R PfRD gmpt (16)其中， 为作用在动平台上的外力；R。为中间约束分支对动平台的约束力；f为动平台质心的位置向量；mp为动平台质量。

由式 (13)及 (16)，消去动平台和定长杆之间的作用力I ，可得：∑ - 。F ∑ mp - ) (17)i1 i1 i动平台相对于点D的欧拉方程可表示为：占彩×Jc )mt×t： -∑3( ) g 8其中， 为动平台相对自身质心的惯量张量，m为动平台质量， 为作用在动平台上的外力矩。

第35卷 第1期 2013-01(下) [871 I 訇 化由式 (13)，上式可改写为：喜 × 喜(p ×]mtx(g- )-Jc·s-CO×(，c·09)ell，0，0] ez[0，1，0] e3[0，0，llT，I I 广 1R喜 -g) )， - -喜 - ，(g- )喜 (口 -g)· ) × ) ·e∞× ·∞)- iI×if×(g /3 仿真算例ml2.5kg，m 0.5kg，各质心惯量阵 (单位：堙· )：0·03 0 0] 0.02 0 0 ]l 0 0 0.06J l 0 0 0.005j[。·0 65。.0165.。0 2] l 11 Im) ：P1[0.15cos(Ⅱ/2) 0.15sin(Ⅱ/2) O]P产O.15cos(7Ⅱ/6) 0.15sin(7 n/6) 0P3[O.15cos(11Ⅱ/6)0.15sin(11Ⅱ/6) 0设动 平 台作 匀加 速运动 ，其 角加速度 为[O.1，O.1，O ，外部作用力Fe [O，0，-lOO] ，，0，得各驱动力及约束力如图2，3所示。由图可知，用于驱动机构运动的驱动力变化并不大。

而约束力仅在Z方向较大，主要用于支撑平台的重力和外部作用力。

时间(s)图2驱动力变化趋势时间fs1图3约束力变化趋势4 结论采用牛顿-欧拉方法针对具有中间约束分支的3-UPS/S并联机构进行了动力学分析。依据所建动力学模型，当给定机构运动学参数及外部作用力，可计算得到机构驱动力及中间约束分支的约束力，因此可以为机构设计及驱动器的选择提供依据。